圆锥曲线二级结论（4）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习
八、等角性质
【知识讲解】
已知椭圆：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
，过长轴上任意一点
N(t , 0)
的弦的端点
A , B
与对应的
点
G(a2
t,0)
的连线所成角被焦点所在直线平分，即
∠OGA =∠OGB
。
已知双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
，过实轴所在直线上任意一点
N(t , 0)
的弦的端点
A , B
与对应点
G(a2
t,0)
的连线所成角被焦点所在直线平分，即
∠NGA =∠NGB
。
已知抛物线
y2=2px (p>0)
，过抛物线对称轴上任意一点
N(a , 0)
的一条弦端点
A , B
与对
应点
G(−a , 0)
的连线所成角被对称轴平分，即
∠OGA =∠OGB
。
【典型例题】
1. 设椭圆
x2
2+y2=1
的右焦点为
F
，过
F
的直线交椭圆于
A , B
两点，
x
轴上有一点
M
，
若
∠OMA =∠OMB
，则
M
的坐标是（ ）。
2. 在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，
F1(−
√
3,0), F2(
√
3,0)
，
Q
为平面上的动点，且
|F2Q|=4
，线段
F1Q
的中垂线与线段
F2Q
交于点
P
。
（1）求
|PF1|+|PF2|
的值，并求动点
P
的轨迹方程
C
；
（2）若直线
l
（
l
斜率存在）与曲线
C
相交于
A , B
两点，且存在点
D(4,0 )
（其中
A , B , D
三点不共线），使得
∠ADO =∠BDO
，证明：直线
l
过定点，并求出定点坐标。
【变式训练】
1. 已知椭圆的中心在坐标原点，短轴长为 4，且有一个焦点与抛物线
y2=4
√
5x
的焦点重
合。
（1）求椭圆方程；
（2）已知过定点
M(2,0)
且斜率不为 0的直线交椭圆于
A , B
两点，试问在
x
轴上是否存在
一个定点
P
使得
PM
始终平分
∠APB
？若存在，求出
P
点坐标；若不存在，说明理由。
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