圆锥曲线二级结论（3）讲义-2022届山东省高考数学二轮复习
六、焦点三角形几何性质
【知识讲解】
1. 如 图 ，
P
是 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 一 点 ， 已 知
∠F1PF2=θ
，
∠PF1F2=α ,∠PF2F1=β
， 则 ：
S=b2tan θ
2
;
e=sin θ
sin α+sin β
;
|PF1||PF2|= 2b2
1+cos θ
2. 如图，
P
是双曲线上异于实轴端点的一点，已知
∠F1PF2=θ
，
∠PF1F2=α ,∠PF2F1=β
，则：
S=b2cot θ
2
;
e=sin θ
|sin α−sin β|
;
|PF1|⋅|PF2|= 2b2
1−cos θ
【典型例题】
1. 已 知
P
是 椭 圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
上 的 一 点 ，
F1, F2
为 焦 点 ， 若
⃗
PF1
⋅
⃗
PF2=0
，
，则椭圆的离心率为（ ）。
2. 设
P
是椭圆
x2
25 +y2
9=1
上的一点，且
⃗
PF1
⋅
⃗
PF2=0
，则
Δ PF1F2
的面积为（ ）。
【变式训练】
1. 已知
F1, F2
是双曲线
x2
4−y2=1
的两个焦点，点
P
在双曲线上，且
⃗
PF1
⋅
⃗
PF2=0
，则
Δ PF1F2
的面积为（ ）。
2. 已知
F1, F2
是椭圆的两个焦点，过
F1
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
A , B
两点，若
Δ ABF 2
是等边三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）。
七、圆锥曲线的光学性质
【知识讲解】
1.1 已知椭圆
C
：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左右焦点分别为
F1, F2
，点
P
为椭圆上一点，
则有：①椭圆在点
P
处的切线
l
平分焦点三角形
Δ PF1F2
的外角；②过点
P
且垂直于切线
l
的直线
PM
交
x
轴于点
M
，
PM
平分
∠F1PF2
。
1.2 椭圆的光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线
l
为镜面，
PM
为
法线）后，反射光线经过另一个焦点。
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