预测04 三角函数、解三角形和平面向量（真题回顾+押题预测）（解析版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 04 三角函数、解三角形和平面向量
1、近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角
恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.
其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中
档以下为主.
2、高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦
定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三
角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能
力、数学应用意识、数形结合思想等．
3、平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性
运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；
1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β 　(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin α cos β － cos α sin β 　(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β 　(S(α＋β))
tan(α－β)＝　(T(α－β))
tan(α＋β)＝　(T(α＋β))
2、二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3、函数 f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为 f(α)＝sin(α＋φ)(其中 tan φ＝)或f(α) ＝cos(α－φ)(其中
tan φ＝).
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC 外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边 a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1、向量共线定理
如果有一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b与a是共线向量；反之，如果 b与a(a≠0)是共线向量，那么
有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.
2、平面向量基本定理
若向量 为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量 ，均存在唯一一对实数 ，使得
。其中 成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向
量）
3、向量数量积运算 ，其中 为向量 的夹角
4、平面向量的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝.
(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a
∥
b
⇔
x
1
y
2－
x
2
y
1＝0
则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
一．选择题（共 8小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）若 tanθ＝﹣2，则
sinθ(1+sin 2 θ)
sinθ+cosθ =¿
（　　）
A．
−6
5
B．
−2
5
C．
2
5
D．
6
5
【解答】解：由题意可得：
¿sinθ
sinθ+cosθ ⋅si n2θ+co s2θ+2sinθ ⋅cosθ
sin2θ+co s2θ
¿tanθ
tanθ+1⋅ta nθ2+2tanθ+1
tan2θ+1
¿2
5
．
故选：C．
2．（2021•乙卷）cos2
π
12−¿
cos2
5π
12 =¿
（　　）
A．
1
2
B．
❑
√
3
3
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
3
2
【解答】解：cos2
π
12−¿
cos2
5π
12
＝cos2
π
12−¿
sin2
π
12
＝cos
π
6=❑
√
3
2
．
故选：D．
3．（2021•甲卷）若 α∈（0，
π
2
），tan2α
¿cosα
2−sinα
，则 tanα＝（　　）
A．
❑
√
15
15
B．
❑
√
5
5
C．
❑
√
5
3
D．
❑
√
15
3
【解答】解：由 tan2α
¿cosα
2−sinα
，得
sin 2 α
cos 2 α=cosα
2−sinα
，
即
2sinαcosα
1−2si n2α=cosα
2−sinα
，
∵α∈（0，
π
2
），∴cosα≠0，
则2sinα（2 sin﹣α）＝1 2sin﹣2α，解得 sinα
¿1
4
，
则cosα
¿❑
√
1−si n2α=❑
√
15
4
，
tan∴α
¿sinα
cosα =
1
4
❑
√
15
4
=
❑
√
15
15
．
故选：A．
4．（2021•乙卷）函数 f（x）＝sin
x
3+¿
cos
x
3
的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3π和
❑
√
2
B．3π和2 C．6π和
❑
√
2
D．6π和2
【解答】解：∵f（x）＝sin
x
3+¿
cos
x
3=❑
√
2
sin（
x
3+π
4
），
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