预测03 导数及其应用（真题回顾+押题预测）（原卷版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 03 导数及其应用

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导

数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、

恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将

导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活

应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

1、基本初等函数的导数公式

(1)(xα)＝αxα－1 (α为常数)；

(2)(ax)′＝axlna(a>0 且a≠1)；

(3)(logax)′＝logae＝ (a>0，且 a≠1)；

(4)(ex)′＝ex；

(5)(ln x)′＝；

(6)(sin x)′＝cosx；

(7)(cos x)′＝－sinx.

2、导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝ (g(x)≠0).

3、复合函数的导数

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y′u·u′x，即 y′x＝y′u·a.

（1）函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数

y＝f(x)在这个区间内单调递减.

（2）函数的极值

判断 f(x0)是极值的方法

一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，

① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；

② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值.

求可导函数的极值的步骤

①求f′(x)；

② 求方程 f′(x)＝0的根；

③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极

大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.

（3）函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]

上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在区间(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

（4）方法技巧

1、利用导数的符号来判断函数的单调性；

2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；

3、

(

)为增函数的充要条件是对任意的

∈(

，

)都有

′(

)≥0 且在(

，

)内的任一非空子区间上

′(

)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

4、导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不

是函数的极值点.

5、一般地，若 a>f(x)对x∈D恒成立，则只需 a>f(x)max；若 a<f(x)对x∈D恒成立，则只需 a<f(x)min.若存在

x0∈D，使 a>f(x0)成立，则只需 a>f(x)min；若存在 x0∈D，使 a<f(x0)成立，则只需 a<f(x0)max.由此构造不等式，

求解参数的取值范围．

6、切线放缩：

(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当 x＝1时，等号成立．

(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋

1>x>1＋ln x(x>0，且 x≠1)．

一．选择题（共 3小题）

1．（2021•乙卷）设 a≠0，若 x＝a为函数 f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）

A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2

2．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线 y＝ex的两条切线，则（　　）

A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea

3．（压轴）（2021•乙卷）设 a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c

¿❑

√

1.04−¿

1，则（　　）

A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b

二．填空题（共 2小题）

4．（2021•甲卷）曲线 y

¿2x−1

x+2

在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为　　．

5．（压轴）（2021• 新高考Ⅱ）已知函数 f（x）＝ |ex1|﹣，x1＜0，x2＞0，函数 f（x）的图象在点

A（x1，f（x1））和点 B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交 y轴于 M，N两点，则

¿AM ∨¿

¿BN∨¿¿ ¿

的取值范围是　　．

三．解答题（共 4小题）

6．（2021•甲卷）已知 a＞0且a≠1，函数 f（x）

¿xa

（x＞0）．

（1）当 a＝2时，求 f（x）的单调区间；

（2）若曲线 y＝f（x）与直线 y＝1有且仅有两个交点，求 a的取值范围．

7．（2021•乙卷）已知函数 f（x）＝ln（a﹣x），已知 x＝0是函数 y＝xf （x）的极值点．

（1）求 a；

（2）设函数 g（x）

¿x+f(x)

xf (x)

．证明：g（x）＜1．

8．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 f（x）＝x（1﹣lnx）．

（1）讨论 f（x）的单调性；

（2）设 a，b为两个不相等的正数，且 blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2

＜1

a+1

b＜

e．

9．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 f（x）＝（x1﹣）ex﹣ax2+b．

（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；

（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点．

①

2＜

≤e2

，b＞2a；②0＜a

＜1

，b≤2a．

☆☆单选题☆☆

1．函数 f（x）＝lnx+x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）

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