预测03 导数及其应用（真题回顾+押题预测）（解析版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 03 导数及其应用
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导
数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
1、基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝αxα－1 (α为常数)；
(2)(ax)′＝axlna(a>0 且a≠1)；
(3)(logax)′＝logae＝ (a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln x)′＝；
(6)(sin x)′＝cosx；
(7)(cos x)′＝－sinx.
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝ (g(x)≠0).
3、复合函数的导数
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y′u·u′x，即 y′x＝y′u·a.
（1）函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数
y＝f(x)在这个区间内单调递减.
（2）函数的极值
判断 f(x0)是极值的方法
一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，
① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；
② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值.
求可导函数的极值的步骤
①求f′(x)；
② 求方程 f′(x)＝0的根；
③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极
大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.
（3）函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]
上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
（4）方法技巧
1、利用导数的符号来判断函数的单调性；
2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；
3、
f
(
x
)为增函数的充要条件是对任意的
x
∈(
a
，
b
)都有
f
′(
x
)≥0 且在(
a
，
b
)内的任一非空子区间上
f
′(
x
)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
4、导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不
是函数的极值点.
5、一般地，若 a>f(x)对x∈D恒成立，则只需 a>f(x)max；若 a<f(x)对x∈D恒成立，则只需 a<f(x)min.若存在
x0∈D，使 a>f(x0)成立，则只需 a>f(x)min；若存在 x0∈D，使 a<f(x0)成立，则只需 a<f(x0)max.由此构造不等式，
求解参数的取值范围．
6、切线放缩：
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当 x＝1时，等号成立．
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋
1>x>1＋ln x(x>0，且 x≠1)．
一．选择题（共 3小题）
1．（2021•乙卷）设 a≠0，若 x＝a为函数 f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2
【解答】解：令 f（x）＝0，解得 x＝a或x＝b，即 x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使 x＝a是f（x）的极大值点，则函数 f（x）的大致图象如下图
所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使 x＝a是f（x）的极大值点，则函数 f（x）的大致图象如下图
所示，
则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线 y＝ex的两条切线，则（　　）
A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea
【解答】解：法一：函数 y＝ex是增函数，y′＝ex＞0恒成立，
函数的图象如图，y＞0，即切点坐标在 x轴上方，
如果（a，b）在 x轴下方，连线的斜率小于 0，不成立．
点（a，b）在 x轴或下方时，只有一条切线．
如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；
（a，b）在曲线上侧，没有切线；
由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在 x轴上方时，有两条切线，可知 0＜b＜ea．
故选：D．
法二：设过点（a，b）的切线横坐标为 t，
则切线方程为 y＝et（x﹣t）+et，可得 b＝et（a+1﹣t），
设f（t）＝et（a+1﹣t），可得 f′（t）＝et（a﹣t），t∈（﹣∞，a），f′（t）＞0，f（t）是增函数，
t∈（a，+∞），f′（t）＜0，f（t）是减函数，
因此当且仅当 0＜b＜ea时，上述关于 t的方程有两个实数解，对应两条切线．
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