专题05 函数与导数：函数性质-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

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专题 05 函数与导数：函数性质
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】设
a=0.1 e0.1
，
b=1
9
，
c=−ln 0.9
，则
¿

¿
A.
a<b<c
B.
c<b<a
C.
D.
a<c<b
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题．
【解答】
解：
a=0.1 e0.1
，
b=0.1
1−0.1
，
c=−ln (1−0.1)
，
①ln a−ln b=0.1+ln (1−0.1)
，令
f(x)=x+ln (1−x), x ∈¿,
则
f ' (x)=1−1
1−x=−x
1−x<0
，故
f(x)
在
¿
上单调递减，
可得
f(0.1)<f(0)=0
，即
ln a−ln b<0
，所以
a<b
；
②a−c=0.1e0.1 +ln (1−0.1)
，令
g(x)=x ex+ln (1−x), x ∈¿,
则
g '(x)=x ex+ex−1
1−x
(1+x)(1−x)ex−1
1−x
，令
k(x)=(1+x)(1−x)ex−1
，所以
k ' (x)=(1−x2−2x)ex>0
，
所以
k(x)
在
¿
上单调递增，可得
k(x)>k(0)>0
，即
g '(x)>0
，
所以
g(x)
在
¿
上单调递增，可得
g(0.1)>g(0)=0
，即
a−c>0
，所以
a>c
．
故
c<a<b
．
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】已知函数
f(x)
及其导函数
f ' (x)
的定义域为
R
，记
g(x)=f ' (x).
若
f(3
2−2x)
，
g(2+x)
均为
偶函数，则
¿

¿
A.
f(0)=0
B.
g(−1
2)=0
C.
f(−1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题．
【解答】
解：由
f(3
2−2x)
为偶函数可知
f(x)
关于直线
x=3
2
对称，
由
g(2+x)
为偶函数可知
g(x)
关于直线
x=2
对称，
结合
g(x)=f ' (x)
，根据
g(x)
关于直线
x=2
对称可知
f(x)
关于点
(2, t)
对称，
根据
f(x)
关于直线
x=3
2
对称可知：
g(x)
关于点
(3
2,0)
对称，
综上，函数
f(x)
与
g(x)
均是周期为
2
的周期函数，所以有
f(0)=f(2)=t
，所以
A
不正确
;
f(−1)=f(1)
，
f(4)=f(2)
，
f(1)=f(2)
，故
f(−1)=f(4)
，所以 C正确．
g(−1
2)=g(3
2)=0
，
g(−1)=g(1)
，所以 B正确
;
又
g(1)+g(2)=0
，所以
g(−1)+g(2)=0
，所以
D
不正确．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】若函数
f(x)
的定义域为
R
，且
f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)
，
f(1)=1
，则
∑
k=1
22
f(k)=()
A.
−3
B.
−2
C.
0
D.
1
【答案】
A
解：令
y=1
得
f(x+1)+f(x−1)=f(x)⋅f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)−f(x−1)
故
f(x+2)=f(x+1)−f(x)
，
f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)
，
消去
f(x+2)
和
f(x+1)
得到
f(x+3)=−f(x)
，故
f(x)
周期为
6;
令
x=1
，
y=0
得
f(1)+f(1)=f(1)· f (0)⇒f(0)=2
，
f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1
，
f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2
，
f(4)=f(3)−f(2)=−2−(−1)=−1
，
f(5)=f(4)−f(3)=−1−(−2)=1
，
f(6)=f(5)−f(4)=1−(−1)=2
，
故
∑
k=1
22
f(k)=3[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)
¿f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(−1)+(−2)+(−1)=−3
即
∑
k=1
22
(¿k)=−3¿
．
【命题意图】
(1) 考察函数的性质，考察函数对称性，周期性，考察函数的单调性。
(2) 考察原函数和导函数的关系，考察利用导数求函数单调性。
(3) 考察化归与转化思想，考察逻辑推导素养，考察计算素养。
【命题方向】函数和导数是高考必考知识点，也是高考考察热点之一。考察函数的定义域，值域，图像，
函数的对称型，函数的周期性，单调性。考察运用函数的导数解决问题。从今年新高考两套试卷来看，对
函数以及应用导数解决函数问题的考察力度，考察的深度与广度，问题的难度，都在不断加大。并且把导
数这个研究问题的工具作用，与函数以及不等式等有机的结合，这也是后续复习要重视的关键点之一。
【得分要点】
-奇偶性及中心对称知识点：
一、几个复杂的中心对称知识点
1.若 满足 ，则 关于 中心对称
2.
3.
二、轴对称的知识点
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别
地当 时，函数 关于直线 对称；
2.如果函数
y=f
(
x
)
满足
f
(
a+x
)
=f
(
a−x
)
，则函数
y=f
(
x
)
的图象关于直线
x=a
对称.
3.
y=f(a−x)
与
y=( x−b)
关于直线
x=a+b
2
对称。
三、中心对称周对称与周期的经验结论
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期 T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴 x=a 与x=b，则函数具有周期性，周期 T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴 x=b，，则函数具有周期性，周期 T=4|a-b|。
1．（2022·贵州毕节·高三模拟（理））设函数 ，则下列函数中为偶函数的是（）
A．B．
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