题型08 概率与统计（真题回顾+押题预测）（原卷版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 08 概率与统计

1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小

综合题．

2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方

面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系

数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.

3、古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，

常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题

中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．

一、排列组合：

1. 排列与排列数

(1)排列数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素

中取出 m个元素的排列数，用符号__A__表示．

(2)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且 m≤n)

A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定 0！＝1．

2. 组合与组合数

(1)组合数的定义：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元

素中取出 m个元素的组合数，用符号__C__表示．

(2)组合数公式：C＝＝＝(n，m∈N*，并且 m≤n)．

(3)组合数的性质：

性质 1：C＝C．

性质 2：C＝C＋C．

性质 3：mC＝n·C．

二、二项式定理

1、二项式定理的展开式

公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)

这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做 (a＋b)n的二项展开式，其中的系数

C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的 Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－

kbk．

2、二项展开式形式上的特点

(1)项数为 n＋1．

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即a与b的指数的和为 n.

(3)字母 a按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐项减 1直到零；字母 b按升幂_排列，从第一项起，

次数由零逐项增 1直到 n.

(4)二项式系数从 C，C，一直到 C，C．

三、离散型随机变量的概率分布及其性质

1、超几何分布：

在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为 P(X＝

r)＝，r＝0，1，2，…，m，称分布列为超几何分布．

X0 1 …m

P…

2、二项分布 X～B(n，p)，记为 Cpkqn－k＝B(k；n，p)．

X0 1 …k…n

PCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0

（1）均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．

（2）两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝．

3、正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)μ，σ(x)dx，则称随机变量 X服从正态分布，记

作X～N(μ，σ2)．

(2)正态曲线的特点

① 曲线位于 x轴上方与 x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；

③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；④曲线与 x轴之间的面积为 1；

⑤当σ一定时，曲线随着 μ的变化而沿 x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，

曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(3)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．

四、统计案例

1. 两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之

间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程为y^ ＝ b^x ＋ a^ _，其中其中 a^，b^是待定参数，(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的

方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．

(4)相关系数：

当r＞0时，表明两个变量正相关；当 r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间

几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性．

2. 独立性检验

(1)2×2列联表

设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1， x 2}和{y1， y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：

y1y2总计

x1a b a＋b

x2c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

(2)独立性检验

利用随机变量 K2(也可表示为 χ2)的观测值k＝(其中 n＝a＋b＋

c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．

常用结论

(1)求解回归方程的关键是确定回归系数 a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x－，y－)．

(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．

(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．

1．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调查数据整理得到如下频率分布直方图：

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