题型06 立体几何与空间向量（解析版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 06 立体几何与空间向量
1、有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关
系的判定与性质;
2、有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查
学生的空间想象能力及推理论证能力;
3、线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全
卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.
1、线面平行的判定定理与性质定理
1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.
符号语言： .
要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.
2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.
符号语言： .
当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.
3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号语言： .
要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是
相交直线.
4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言： .
2、直线、平面垂直的判定定理与性质定理
1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.
符号语言： .
要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言： .
此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面
垂直，则另一条直线也与该平面垂直.
3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.
符号语言： .
要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言： .
要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.
3、异面直线所成角
设异面直线 a，b所成的角为 θ，则 cos θ＝， 其中 a，b分别是直线 a，b的方向向量．
4、直线与平面所成角
设l为平面 α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面 α的法向量，φ为l与α所成的角，则 sin φ ＝ |
cos 〈 a ， n 〉 | ＝
5、二面角
平面 α与β相交于直线 l，平面 α的法向量为 n1，平面 β的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α l β
为θ或π－θ.设二面角大小为 φ，则|cos φ | ＝ |cos θ | ＝
6、利用空间向量求距离
点到平面的距离
如图所示，已知 AB 为平面 α的一条斜线段，n为平面 α的法向量，则 B到平面 α的距离为|BO|＝.
一．选择题（共 5小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为
❑
√
2
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
　）
A．2 B．2
❑
√
2
C．4 D．4
❑
√
2
【解答】解：由题意，设母线长为 l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有
2π⋅❑
√
2=π⋅l
，解得
l=2❑
√
2
，
所以该圆锥的母线长为
2❑
√
2
．
故选：B．
2．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（　　）
A．20+12
B．28
❑
√
2
C．
56
3
D．
28❑
√
2
3
【解答】解：如图 ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．
在等腰梯形 A1B1BA 中，过 A作AE⊥A1B1，可得 A1E
¿4−2
2=¿
1，
AE
¿❑
√
A A1
2−A1E2=❑
√
4−1=❑
√
3
．
连接 AC，A1C1，AC
¿❑
√
4+4=2❑
√
2
，A1C1
¿❑
√
16+16=¿
4
❑
√
2
，
过A作AG⊥A1C1，A1G
¿4❑
√
2−2❑
√
2
2=❑
√
2
，
AG
¿❑
√
A A1
2−A1G2=❑
√
4−2=❑
√
2
，
∴正四棱台的体积为：
V
¿S上+S下+❑
√
S上⋅S下
3×h=22+42+❑
√
22×42
3×❑
√
2
¿28❑
√
2
3
．
故选：D．
3．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球
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