题型05 数列（解析版）- 【考前突围密训】2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型（新高考适用）

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预测 05 数列

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数

列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度 .往往在利用方程思想解决

数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合 .在考查等差数列、等比

数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方

法尤为重要．

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　　

(2)① 通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0 时，an是关于 n的一次函数．

② 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．　　　　　　　　　　　　　

(3)等差中项：数列 a，A，b成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A叫做 a，b的等差中项．

①若m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(4)前n项和公式：Sn＝ ――→Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0 时，Sn是关于 n的二次函数，且没有常数项．

2.常用结论：

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和．

(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.

(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

(3)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.

若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等

比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果 a、G、b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．

“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前 n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap·aq＝a．

(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠－1)．

常用结论

4．记住等比数列的几个常用结论

(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数

列，公比为 qk.

(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。

1．（2021•北京）已知{an}是各项为整数的递增数列，且 a1≥3，若 a1+a2+a3+…+an＝100，则 n的最大值为

（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【解答】解：数列{an}是递增的整数数列，

∴n要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，

假设递增的幅度为 1，

∵a1＝3，

∴an＝n+2，

则

Sn=(3+n+2)n

2=5n+n2

，

当n＝10 时，a10＝12，S10＝75，

100∵﹣S10＝25＞a10＝12，即 n可继续增大，n＝10 非最大值，

当n＝12 时，a12＝14，S12＝102，

100∵﹣S12＝100 102﹣＜0，不满足题意，

即n＝11 为最大值．

故选：C．

2．（2019•新课标Ⅰ）记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则（　　）

A．an＝2n5﹣B．an＝3n10﹣C．Sn＝2n28﹣nD．Sn

¿1

n22﹣n

【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d，

由S4＝0，a5＝5，得

{

4a1+6d=0

a1+4d=5

，∴

{

a1=−3

d=2

，

∴an＝2n5﹣，

Sn=n2−4n

，

故选：A．

3．（2021•甲卷）记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 S2＝4，S4＝6，则 S6＝（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前 n项和，S2＝4，S4＝6，

由等比数列的性质，可知 S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，

4∴，2，S66﹣成等比数列，

2∴2＝4（S66﹣），解得 S6＝7．

故选：A．

4．（2021•甲卷）等比数列{an}的公比为 q，前 n项和为 Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（

　）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

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