思想04 划归与转化思想【解析版】（理科）第三篇思想方法篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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思想 04 划归与转化思想

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙.事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复

杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低

维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.

转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等.

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

函数与方程

函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识

(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相

关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立

函数关系求解.

(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关

系，利用函数的性质求解.

(3)数列的通项与前 n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问

题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.

(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值

等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.

(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表

达式的方法加以解决.

运用数形结合思想分析解决问题的 3个原则

(1)等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，

有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观

高中数学思

想

函数与方程分类讨论数形合结化归与转化

数形结合而浅显的说明.

(2)双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相

成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.

(3)简单性原则

找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过

程，则取决于哪种方法更为简单.

分类讨论

1.分类讨论的原则

(1)不重不漏；

(2)标准要统一，层次要分明；

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.

2.分类讨论的本质与思维流程

(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”.

(2)分类讨论的思维流程：

明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是

否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集).

化归与转

化思想

1.转化与化归的原则

(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验

来解决.

(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂

问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反

面去探讨，使问题获解.

2.转化与化归的指导思想

(1)把什么问题进行转化，即化归对象.

(2)化归到何处去，即化归目标.

(3)如何进行化归，即化归方法.

转化与化归思想是一切数学思想方法的核心.

知识点一：正与反的转化

[例1]　若对任意的t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m的取值范

围是______________.

[解析]　由题意得 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，

若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，

则① g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或② g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.

由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，则 m＋4≥－

1，即 m≥－5；

由②得 m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立，

则m＋4≤－9，即 m≤－.

∴函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m的取值范围为－<m<－5.

[答案]　

[技法领悟]

(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.

(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于

含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.

[应用体验]

1.由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m的取值范围是(－∞，a)，则实数 a的取值是(

)

A.(－∞，1)　　　　　　 B.(－∞，2)

C.1 D.2

解析：选C　由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意 x∈R，使 e|x

－1|－m>0”是真命题，可得 m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故 a＝1.故选 C.

2.若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数 p

的取值范围为________.

解析：如果在区间[－1，1]内没有值满足 f(c)＞0，则

⇒⇒

⇒⇒p≤－3或p≥，

取补集为－3＜p＜，即为满足条件的 p的取值范围.

故实数 p的取值范围为.

答案：

知识点二：常量与变量的转化

[例2]　已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对任意 a∈[－1，1]都有

g(x)<0，则实数 x的取值范围为________.

[解析]　由题意，知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5，

令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.

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