思想03数形结合思想（讲）【解析版】（文科）第三篇 思想方法篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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思想 03 数形结合的思想
　由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形
结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.
1．【2021·全国高考真题】已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者
记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
2．【2021·浙江高考真题】已知 ，函数 .若 成
等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养
中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
3．【2021·全国高考真题（理）】已知 是双曲线 C的两个焦点，P为C上一点，且
，则 C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
4．【2021·全国高考真题（理）】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都
满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构
建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然
该不等式不成立．
故选：C．
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