思想02 分类讨论思想（讲）【原卷版】（文科）第三篇 思想方法篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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思想 02 分类讨论思想
　在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行
了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然
后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题
的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的
解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.
分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、
立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.
1.【2021·全国高考真题（理）】已知数列
 
n
a
的各项均为正数，记
n
S
为
 
n
a
的前 n项和，从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
 
n
a
是等差数列：②数列
 
n
S
是等差数列；③
2 1
3a a
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
2.【2021·全国高考真题】已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
①；
②．
一、考向分析：
二、考向讲解
考查内容 解 题 技 巧
函数与方程
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相
关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立
函数关系求解.
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关
系，利用函数的性质求解.
(3)数列的通项与前 n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问
题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值
等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表
达式的方法加以解决.
数形结合
运用数形结合思想分析解决问题的 3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，
有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观
而浅显的说明.
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相
成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过
程，则取决于哪种方法更为简单.
1.分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.
高中数学思
想
函数与方程 分类讨论 数形 合结 化归与转化
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