思想02 分类讨论思想（讲）【解析版】（理科）第三篇思想方法篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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思想 02 分类讨论思想

　在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行

了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然

后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题

的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的

解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.

分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、

立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.

1.【2021·全国高考真题（理）】已知数列

 

的各项均为正数，记

为

 

的前 n项和，从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列

 

是等差数列：②数列

 

是等差数列；③

2 1

3a a

．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【分析】选①②作条件证明③时，可设出

，结合

n n

a S

的关系求出

，利用

 

是等差数列可证

2 1

3a a

；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出

，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出

S an b 

，结合

n n

a S

的关系求出

，根据

2 1

3a a

可求

，然后可证

 

是等差数列.

【详解】选①②作条件证明③：

设

( 0)

S an b a  

，则

 

S an b 

，

当

1n

时，

 

1 1

a S a b  

；

当

2n

时，

   

2 2

1n n n

a S S an b an a b



      

 

2 2a an a b  

；

因为

 

也是等差数列，所以

   

22 2a b a a a b   

，解得

0b

；

所以

 

2 1

aa n 

，所以

2 1

3a a

选①③作条件证明②：

因为

2 1

3a a

，

 

是等差数列，

所以公差

2 1 1

2d a a a  

，

所以

 

1 1

n n

S na d n a



  

，即

S a n

，

因为

 

1 1 1 1

n n

S S a n a n a

    

，

所以

 

是等差数列.

选②③作条件证明①：

设

( 0)

S an b a  

，则

 

S an b 

，

当

1n

时，

 

1 1

a S a b  

；

当

2n

时，

   

2 2

1n n n

a S S an b an a b



      

 

2 2a an a b  

；

因为

2 1

3a a

，所以

   

3 2 3a a b a b  

，解得

0b

或

b 

；

当

0b

时，

 

2 2

1, 2 1

a a a a n  

，当

2n

时，

-1

- 2

n n

a a a

满足等差数列的定义，此时

 

为等差数

列；

当

b 

时，

S an b an a  

，

S  

不合题意，舍去.

综上可知

 

为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数

列的证明通常采用定义法或者等差中项法.

2.【2021·全国高考真题】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点

①；

②．

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

【详解】

(1)由函数的解析式可得：，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，若，则单调递增，

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