数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（新高考专用）02（解析版）

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绝密★考试结束前

2022 年秋季高三开学摸底考试卷（新高考专用）02

（试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）

姓名___________ 班级_________ 考号_______________________

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1．已知集合，，则的真子集个数为（）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】

解方程组可求得，根据元素个数可求得真子集个数.

【详解】

由得：或，，

即有个元素，的真子集个数为个.

故选：C.

2．若复数 z满足，则 z=（）

A．B．C． D．

【答案】C

【分析】

设，则，，根据复数相等运算求解．

【详解】

设，

则，

∵，即

可得，解得

即

故选：C．

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛

减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一

天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（

）

A．192里B．96里C．48里D．24里

【答案】B

【分析】

由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

【详解】

由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，解得，

第此人第二天走里.

故选：B．

4．已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

由题干条件平方得到，从而得到，得到与的夹角.

【详解】

由，两边平方可得：

，

因为向量，为单位向量，

所以，即 .

因为，所以，即与的夹角为 .

故选：C

5．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、

丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为

（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，将、元素插入这位运动

员所形成的空中，结合插空法可求得结果.

【详解】

因为个“冰墩墩”完全相同，将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，

先将甲、乙、丙、丁位运动员全排，然后将、元素插入这位运动员所形成的空中，

且、元素不相邻，则不同的排法种数为 .

故选：B.

6．已知，，且，，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在

和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.

【详解】

且，， .

又，， .

当时，

，

，，不合题意，舍去；

当，同理可求得，符合题意.

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