数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（新高考专用）01（答案及评分标准）

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2022 年秋季高三开学摸底考试卷（新高考专用）01
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
12345678
A A D B C D B C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．AC 10．AC 11．AD 12．BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．24 14．
15．16．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
【解析】
（1）证明： ，且 ．
，（2分）
，
， ，（4分）
数列 是等比数列，首项与公比为 2．（5分）
（2）由（1）可得： ， ，（7分）
，（8分）
数列 的前 项和 （9分）
．（10 分）
18. （12 分）
【解析】
（1）证明：因为在平面四边形 中， ，
所以在 中，由余弦定理得 ，（2分）
在 中，由余弦定理得 ，（4分）
所以 ，（5分）
所以 ，即 ．（6分）
（2）因为 与 的面积分别为 和 ，
所以 ， ， （8分）
则 （9分）
由（1）知： ，
代入上式得 ，
（11 分）
所以当 时， 取到最大值 14．（12 分）
19．（12 分）
【解析】
（1）证明：连接 ，在 中， ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， （1分）
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． （3分）
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，又 ，所以 ， （4分）
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
， ， ， （5分）
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，（7分）
由图形可知，二面角 的余弦值为 ．（8分）
（3）假设存在点 ，设 ，
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