考点49 合情推理与证明（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 49 合情推理与证明

一．合情推理

(1)归纳推理

① 定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．

② 特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

① 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像

这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．

② 特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的

推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．

二．演绎推理

(1)演绎推理

由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

① 大前提——一般性的原理；

② 小前提——特殊对象；

③ 结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．

三．直接证明

(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．

(2)一般形式

⇒

…⇒ ⇒本题结论．

(3)综合法

① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．

这种证明方法常称为综合法．

② 推证过程

… …⇒⇒⇒

(4)分析法

① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或

已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．

② 推证过程

… …⇐⇐⇐

知识理解

四．间接证明

(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．

(2)反证法的基本步骤

① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．

② 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．

③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．

考向一推理

【例 1】（2021·河南）有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以

”，这个推理（）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的

【答案】D

【解析】由等比数列的定义可知等比数列中没有等于的项，即，可知推理正确.

故选：D.

【举一反三】

1．（2021·河南高二月考（文））已知函数，为的导函数，定义

，，…，，经计算，，

，，…，照此规律，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，可得，，

考向分析

，…，

观察知呈周期性变化，周期为 4，

所以．

故选：D.

2．（2021·全国高三月考（理））某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾

甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是 1 或 2 中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自

己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个 1、几个 2？” 甲说：“我看到三个 1.”乙说：“我看到一

个 2 和两个 1.”丙说：“我看到三个 2.”三个回答中，只有号码是 1 的嘉宾说了假话，则号码为 2 的嘉宾

有（）

A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁

【答案】D

【解析】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，

进而可确定丙也说的是假话.

若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个 2，要么甲、乙、丁都是 1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是

真话，号码为 2 的嘉宾只能是乙和丁.

故选：D.

3．（2021·安徽省泗县第一中学）将正奇数按如图所示规律排列，则第31 行从左向右的第3 个数为（

）

A．1915B．1917C．1919D．1921

【答案】B

【解析】如题图，第1行1 个奇数，第2行3 个奇数，第3行 5 个奇数，

归纳可得第31 行有个奇数，

且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．

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