考点48 逻辑联结词及数学归纳法（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 48 逻辑联结词及数学归纳法
一．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题
p
且
q
、
p
或
q
、非
p
的真假判断
p q p
且
q p
或
q
非
p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
二．量词
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“ ”∀
表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号
“ ”表示．∃
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称命题 对
M
中任意一个
x
，有
p
(
x
)成立 ∀
x
∈
M
，
p
(
x
)∃
x
∈
M
，
存在性命题 存在
M
中的一个
x
，使
p
(
x
)成立 ∃
x
∈
M
，
p
(
x
)∀
x
∈
M
，
三．数学归纳法
1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．
2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：
(1)归纳奠基：证明取第一个自然数
n
0时命题成立；
(2)归纳递推：假设
n
＝
k
(
k
∈N*，
k
≥
n
0)时命题成立，证明当
n
＝
k
＋1 时，命题成立；
(3)由(1)(2)得出结论．
知识理解
考向一 命题的否定
【例 1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【举一反三】
1．（2021·全国高三月考（理））命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
2．（2021·湖南岳阳市）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
考向二 逻辑连接词求参数
【例 2】（2021·全国高三专题练习）若命题“ ”是假命题，则实数 a的范围是（
考向分析
）
A．B．C．D．
【举一反三】
1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题 ， .若 为假命题，则
的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“ ，使得 成立”为假命题，则实数 a的
取值范围是（ ）
A．[1，+∞) B．[0，+∞) C．(，1) D．(，0]
3．（2020·江西高三期中（文））存在 ，使得 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．C．D．-1
考向三 数学归纳法
【例 3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋ ＋ ＋…＋ ＜
n(n∈N*，n≥2)”时，由 n＝k(k≥2)时不等式成立，推证 n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1B．2k－1
C．2kD．2k＋1
【例 3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列 满足 .
（1）计算 ，猜想 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 的前 项和 .
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