考点46 三定问题（定点、定值、定直线）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 46 三定问题（定点、定值、定直线）

一．求定值问题常见的方法有两种：

① 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

二．直线定点问题的求解的基本思路如下：

① 假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

② 利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③ 利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④ 根据直线过定点的求解方法可求得结果.

三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中

核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与

的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再

证明该定点与变量无关.

考向一定值

【例 1】（2021·北京丰台区·高三一模）已知椭圆长轴的两个端点分别为

，离心率为 .

知识理解

考向分析

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交

椭圆于点 .

（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.

【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.

【解析】（1）由题意得，

所以，

所以椭圆

的方程为 .

（2）（ⅰ）证明：设，

因为在椭圆上，所以 .

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以直线的方程为 .

所以点的坐标为 .

所以直线的斜率为 .

所以直线的斜率之积为：

（ⅱ）三点共线.

设直线斜率为，易得 .

由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为 .

联立可得 .

解得点的纵坐标为，

所以点的坐标为 .

所以，直线的斜率为，直线的斜率为 .

因为直线的斜率等于直线的斜率，

所以三点共线.

【举一反三】

1．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知椭圆： ( )的左右焦点分别为､，

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