考点45 抛物线（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）
考点 45 抛物线
一．抛物线的定义
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
(点
F
不在直线
l
上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F
叫做抛
物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线.
二．．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y
2＝2
px
(
p
＞0)
y
2＝－2
px
(
p
＞0)
x
2＝2
py
(
p
>0)
x
2＝－2
py
(
p
>0)
p
的几何意义 焦点
F
到准线
l
的距离，焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形
顶点
O
(0,0)
对称轴
x
轴
y
轴
焦点
F F F F
离心率
e
＝1
准线方程
x
＝－
x
＝
y
＝－
y
＝
范围
x
≥0，
y
∈R
x
≤0，
y
∈R
y
≥0，
x
∈R
y
≤0，
x
∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P
(
x
0，
y
0)) |
PF
|＝
x
0＋ |
PF
|＝－
x
0＋ |
PF
|＝
y
0＋ |
PF
|＝－
y
0＋
三．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线
l
与圆锥曲线
C
的位置关系时，通常将直线
l
的方程
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
，
B
不同时为 0)代入圆锥曲
线
C
的方程
F
(
x
，
y
)＝0，消去
y
(或
x
)得到一个关于变量
x
(或
y
)的一元方程．
例：由消去
y
，得
ax
2＋
bx
＋
c
＝0.
(1)当
a
≠0 时，设一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0 的判别式为
Δ
，则：
Δ
>0⇔直线与圆锥曲线
C
相交；
知识理解
Δ
＝0⇔直线与圆锥曲线
C
相切；
Δ
<0⇔直线与圆锥曲线
C
相离．
(2)当
a
＝0，
b
≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线
l
与圆锥曲线
C
相交，且只有一个交点，此时，
若
C
为双曲线，则直线
l
与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若
C
为抛物线，则直线
l
与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
考向一 抛物线的定义
【例 1】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的交
点为 ， 是 上一点，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【举一反三】
1．（2021·山东烟台市·高三一模）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，若
中点的横坐标为 则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·内蒙古高三月考（文））点 为抛物线 的焦点，点 ，点 为物线上与直线
不共线的一点，则 周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三专题练习（文））已知抛物线 上的动点
P
到直线
l
∶ 的距离为
d
，
A
考向分析
点坐标为(2，0)，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江杭州市·学军中学）已知拋物线 的焦点坐标 为 ，则 的值为_________
__；若点 在抛物线上，点 则 的最小值为___________.
考向二 抛物线的标准方程
【例 2-1】（2021·全国单元测试）顶点在原点，关于
y
轴对称，并且经过点
M
(－4，5)的抛物线方程为（
）
A．
y
2＝
x
B．
y
2＝－
x
C．
x
2＝
y
D．
x
2＝－
y
【例 2-2】（2021·浙江）已知抛物线 的焦点 ，则拋物线
C
的标准方程为___________，焦点到
准线的距离为___________.
【举一反三】
1．（2021·全国课时练习）以 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物
线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（2021·山东德州市·高二期末）抛物线 的焦点是直线 与坐标轴的交点，则该抛
物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·绵阳南山中学实验学校（文））顶点在原点，对称轴是
y
轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的
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