考点45 抛物线（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 45 抛物线
一．抛物线的定义
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
(点
F
不在直线
l
上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F
叫做抛
物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线.
二．．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y
2＝2
px
(
p
＞0)
y
2＝－2
px
(
p
＞0)
x
2＝2
py
(
p
>0)
x
2＝－2
py
(
p
>0)
p
的几何意义 焦点
F
到准线
l
的距离，焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形
顶点
O
(0,0)
对称轴
x
轴
y
轴
焦点
F F F F
离心率
e
＝1
准线方程
x
＝－
x
＝
y
＝－
y
＝
范围
x
≥0，
y
∈R
x
≤0，
y
∈R
y
≥0，
x
∈R
y
≤0，
x
∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P
(
x
0，
y
0)) |
PF
|＝
x
0＋ |
PF
|＝－
x
0＋ |
PF
|＝
y
0＋ |
PF
|＝－
y
0＋
三．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线
l
与圆锥曲线
C
的位置关系时，通常将直线
l
的方程
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
，
B
不同时为 0)代入圆锥曲
线
C
的方程
F
(
x
，
y
)＝0，消去
y
(或
x
)得到一个关于变量
x
(或
y
)的一元方程．
例：由消去
y
，得
ax
2＋
bx
＋
c
＝0.
(1)当
a
≠0 时，设一元二次方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝0 的判别式为
Δ
，则：
Δ
>0⇔直线与圆锥曲线
C
相交；
知识理解
Δ
＝0⇔直线与圆锥曲线
C
相切；
Δ
<0⇔直线与圆锥曲线
C
相离．
(2)当
a
＝0，
b
≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线
l
与圆锥曲线
C
相交，且只有一个交点，此时，
若
C
为双曲线，则直线
l
与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若
C
为抛物线，则直线
l
与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
考向一 抛物线的定义
【例 1】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的交
点为 ， 是 上一点，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过
P
作
PQ
垂直
l
，交
l
于
Q
，不妨设 ，
根据抛物线定义得 ，
所以
y
=4，所以
x
=4，即 ，
所以 ，
所以 .
考向分析
故选：D
【举一反三】
1．（2021·山东烟台市·高三一模）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，若
中点的横坐标为 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 的中点的横坐标为
4，
设 ， ， ， ， ，
则 ．
故选： ．
2．（2021·内蒙古高三月考（文））点 为抛物线 的焦点，点 ，点 为物线上与直线
不共线的一点，则 周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，焦点 ，准线方程为： ，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，过点 作准线的垂线，垂足为 ，且与抛物线交于点 ，
作出图像如图，故 ，
由抛物线的定义得： ，
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