考点44 双曲线（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 44 双曲线

一．双曲线的定义

平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a＜|F1F2|)的点 P的轨迹叫做双曲线.这两个定

点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

二.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在 y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.

三．双曲线的几何性质

标准方程－＝1(

>0，

>0) －＝1(

>0，

>0)

图形

性质

范围

≤－

或

≥

，

∈R

∈R，

≤－

或

≥

对称性对称轴：

轴，

轴

对称中心：(0,0)

对称轴：

轴，

轴

对称中心：(0,0)

顶点顶点坐标：

1(－

0)，

0) 顶点坐标：

1(0，－

)，

2(0，

)

渐近线

＝±

x y

＝±

离心率

＝，

∈(1，＋∞)

实虚轴

线段

2叫做双曲线的实轴，它的长

2＝2

；

线段

2叫做双曲线的虚轴，它的长

2＝2

；

叫做双曲线的实半轴长，

叫做双曲线的虚半轴长

，

的关系

2＝

2＋

>0，

>0)

四．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线 l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线 l的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为 0)代入圆锥曲

知识理解

线C的方程 F(x，y)＝0，消去 y(或x)得到一个关于变量 x(或y)的一元方程．

例：由消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式为 Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C相离．

(2)当a＝0，b≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线 l与圆锥曲线 C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线 l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线 l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

考向一双曲线的定义

【例 1-1】（2021·浙江省德清县第三中学）已知双曲线的左右焦点分别为､､，若点

在的右支上，且，则（）

A．3 B．5 C． D．

【答案】B

【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以

故选：B

【例 1-2】．（2020·河北张家口市）已知，动点

满足，当分别为

4 和 12 时，点

的轨迹分别为（）

A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

【答案】C

考向分析

【解析】由题意，得

当时，，可知点

的轨迹为双曲线左支；

当时，，可知点

的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C

【例 1-3】．（2021·全国课时练习）已知

1，

2分别为双曲线

：的左右焦点，点､

在

上，

∠

2=60°，则|

1|·|

2|等于________.

【答案】4

【解析】由双曲线方程知：，

在△

2中，由余弦定理知：

，

∴ ，而，

∴ .

故答案为：4.

【举一反三】

1．（2021·上海普陀区）设

是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则

（）

A．4 B．5 C．8 D．10

【答案】C

【解析】由双曲线可得

【方法总结】双曲线定义

(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．

(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．

(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；② 2a<|F1F2|；③焦点所在坐标

轴的位置．

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