考点43 椭圆（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 43 椭圆

一．椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a＞|F1F2|)的动点 P的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1，F2

叫做椭圆的焦点.

二．椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在 y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

焦点在 x轴上⇔标准方程中 x2项的分母较大；焦点在 y轴上⇔标准方程中 y2项的分母较大.

三．椭圆的几何性质

标准方程＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点

顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b

焦距 F1F2＝2c

离心率 e＝∈(0,1)

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

四．直线与椭圆的位置关系

判断直线 l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线 l的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为 0)代入圆锥曲

知识理解

线C的方程 F(x，y)＝0，消去 y(或x)得到一个关于变量 x(或y)的一元方程．

例：由消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.

当a≠0时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式为 Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C相离．

五．弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的

常见形式有如下几种：

①|AB|＝|x1－x2|=；

②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)= .

考向一椭圆的定义及应用

【例 1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点 P的轨迹为椭圆；

②已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点 P的轨迹为线段；

③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.

【例 1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点 A，B，为椭圆

下焦点，则三角形的周长为___________.

【例 1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如是椭圆的两个焦点，P是

椭圆上一点，，则的面积等于（）

考向分析

A．24 B．26 C．D．

【举一反三】

1．（2021·广西桂林市）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.

2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆上一点到其左焦点的距离为 1，则的中点

到坐标原点的距离为（）

A．3 B．C．1 D．

3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知是椭圆上的任意一点，若，则 __

_________.

4．（2021·陕西安康市）已知点，P为椭圆上的动点，B是圆

上的动点，则的最大值为___________.

5．（2021·全国课时练习）已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且

，则的面积是______.

考向二椭圆的标准方程

【例 2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点

(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）

A．B．

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