考点42 圆的方程（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 42 圆的方程

一．求圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为 C(a,b),半径为 r，则该圆的标准方程为：

2 2 2

( ) ( )x a y b r   

．

(2) 方程

2 2 2

( ) ( )x a y b r   

表示圆心为 C(a,b),半径为 r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：

2 2 0x y Dx Ey F    

.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2) 对方程：

2 2 0x y Dx Ey F    

① 若

2 2 4 0D E F  

，则方程表示以



，

)



为圆心,

FED 4

122 

为半径的圆；

② 若

 FED

，则方程只表示一个点



，

)



；

③ 若

 FED

，则方程不表示任何图形．

4.点

0 0

( )A x y，

与⊙C的位置关系

(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔

2 2 2

0 0

( ) ( )x a y b r－＋－

；

(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔

2 2 2

0 0

( ) ( )x a y b r－＋－

；

(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔

2 2 2

0 0

( ) ( )x a y b r－＋－

二．圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为

、

，圆心距为

1 2

d C C

，半径分别为

、

(

R r

(1)两圆相离：无公共点；

d R r 

，方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；

d R r 

，方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；

R r d R r   

，方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；

d R r 

，方程组有一组不同的解.

知识理解

(5)两圆内含：无公共点；

0d R r  

，方程组无解.特别地，

0d

时，为两个同心圆.

三．直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路

（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径 r

（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

（3）d与r比较大小

四．直线与圆弦长解题思路---垂定定理

（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径 r

（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

（3）利用弦长公式

五．圆上的点到直接距离最值的解题思路

（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径 r

（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

（

3）判断位置关系

考向一圆的方程

【例 1】（1）（2021·浙江杭州市·学军中学）圆的圆心坐标和半径分别是（）

A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3

C． D．

(2)（2021·河南洛阳市）已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（

）

A． B．

C． D．

【举一反三】

1．（2020·河北区）圆的圆心和半径分别是（）

A．；1 B．；

C．；1 D．；

2．（2021·河南周口市）圆的半径和圆心坐标分别为（）

A． B． C． D．

3．（2021·全国课时练习）若方程

2＋

2＋2

λx

＋2

λy

＋2

2―

＋1＝0 表示圆，则

的取值范围是（

）

A．(1，＋∞) B．

考向分析

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