考点42 圆的方程（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 42 圆的方程
一．求圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为 C(a,b),半径为 r，则该圆的标准方程为：
2 2 2
( ) ( )x a y b r  
．
(2) 方程
2 2 2
( ) ( )x a y b r  
表示圆心为 C(a,b),半径为 r的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：
2 2 0x y Dx Ey F  
.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：
2 2 0x y Dx Ey F  
.
① 若
2 2 4 0D E F 
，则方程表示以
(2
D
，
)
2
E
为圆心,
FED 4
2
122
为半径的圆；
② 若
，则方程只表示一个点
(2
D
，
)
2
E
；
③ 若
，则方程不表示任何图形．
4.点
0 0
( )A x y，
与⊙C的位置关系
(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔
2 2 2
0 0
( ) ( )x a y b r－ ＋ －
；
(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔
2 2 2
0 0
( ) ( )x a y b r－ ＋ －
；
(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔
2 2 2
0 0
( ) ( )x a y b r－ ＋ －
.
二．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为
1
C
、
2
C
，圆心距为
1 2
d C C
，半径分别为
R
、
r
(
R r
).
(1)两圆相离：无公共点；
d R r 
，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；
d R r 
，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；
R r d R r 
，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；
d R r 
，方程组有一组不同的解.
知识理解
(5)两圆内含：无公共点；
0d R r  
，方程组无解.特别地，
0d
时，为两个同心圆.
三．直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程 找出圆心 和半径 r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
（3）d与r比较大小
四．直线与圆弦长解题思路---垂定定理
（1）把圆化成圆的标准方程 找出圆心 和半径 r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
（3）利用弦长公式
五．圆上的点到直接距离最值的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程 找出圆心 和半径 r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
（
3）判断位置关系
考向一 圆的方程
【例 1】（1）（2021·浙江杭州市·学军中学）圆 的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
(2)（2021·河南洛阳市）已知圆 经过原点 ， ， 三点，则圆 的方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D(2）D
【解析】（1）根据圆的标准方程可得， 的圆心坐标为 ，半径为 ，故选：D.
（2）设圆的方程为 ，
把点 ， ， 代入得
， 解得 ， ， ，
所以圆的方程是 ．故选：D．
【举一反三】
1．（2020·河北区）圆 的圆心和半径分别是（ ）
考向分析
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