考点40 导数与不等式、零点（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 40 导数与不等式、零点
一.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．
(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二．证明
f
(
x
)>
g
(
x
)的一般方法是证明
h
(
x
) ＝
f
(
x
) －
g
(
x
)>0(利用单调性)，特殊情况是证明
f
(
x
)min>
g
(
x
)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．
三．证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另
一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式
f
(
x
1)＋
g
(
x
1)<
f
(
x
2)＋
g
(
x
2)对
x
1<
x
2恒成立，即等价于函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)为增函数．
四．可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．
五．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的
大致图象判断方程根的情况．
考向一 导数与零点
【例 1】（2021·安徽安庆市）函数 .
（1）讨论函数的极值；
（2）当 时，求函数 的零点个数.
知识理解
考向分析
【举一反三】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）令 ，当 时，证明∶函数 有 2 个零点.
2．（2021·安徽高三一模（文））已知函数
f
(
x
)=
ax
-
ax
(
a
>0 且
a
≠1).
（1）当
a
=
e
时，求函数
f
(
x
)的最值；
（2）设
g
(
x
)是
f
(
x
)的导函数，讨论函数
g
(
x
)在区间(0，1)零点的个数.
3．（2021·山东潍坊市·高三一模）已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线经过坐标原点，求实数 ；
（2）当 时，判断函数 在 上的零点个数，并说明理由．
考向二 导数与不等式
【例 2】（2020·江苏苏州市）已知函数 .
（1）若 在 时取得极值，求实数
m
的值；
（2）求 的单调区间；
（3）证明： .
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