考点40 导数与不等式、零点（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 40 导数与不等式、零点
一.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．
(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二．证明
f
(
x
)>
g
(
x
)的一般方法是证明
h
(
x
) ＝
f
(
x
) －
g
(
x
)>0(利用单调性)，特殊情况是证明
f
(
x
)min>
g
(
x
)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．
三．证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另
一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式
f
(
x
1)＋
g
(
x
1)<
f
(
x
2)＋
g
(
x
2)对
x
1<
x
2恒成立，即等价于函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)为增函数．
四．可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．
五．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的
大致图象判断方程根的情况．
考向一 导数与零点
【例 1】（2021·安徽安庆市）函数 .
（1）讨论函数的极值；
（2）当 时，求函数 的零点个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意，函数 ，可得 ，
当 时， ， 在 上为单调增函数，此时无极值；
当 时，令 ，解得 ，
知识理解
考向分析
所以 在 上为单调增函数，
令 ，解得 ， 在 上为单调减函数，
所以当 时，函数 取得极小值 ，无极大值.
综上所述：
当 时， 无极值，
当 时， ，无极大值.
（2）由（1）知当 时， 在 上为单调增函数，在 上为单调减函数，
且 ，
又由 ，若 时， ；
若 时， ；
当 ，即 时， 无零点；
当 ，即 时， 有 1 个零点；
当 ，即 时， 有 2 个零点.
综上：当 时， 无零点；
当 时， 有 1 个零点；
当 时， 有 2 个零点.
【举一反三】
1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）令 ，当 时，证明∶函数 有 2 个零点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）
（2）当 时， ，∴ 是 的一个零点，
由 ，设 ，则 .
因为 ，
① 当 时， ，∴ ，∴ 在 单调递增，
∴ ，
∴ 在 单调递增，∴ ，此时 在 无零点
② 当 时， ，有 ，此时 在
无零点.
③ 当 时， ， ，∴ 在 单调递增，又
， ，
由零点存在性定理知，存在唯一 ，使得 .
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