考点38 单调性的分类讨论（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 38 单调性的分类讨论
讨论函数
f
(
x
)单调性的步骤
(1)确定函数
f
(
x
)的定义域；
(2)求导数
f
′(
x
)，并求方程
f
′(
x
)＝0 的根；
(3)利用
f
′(
x
)＝0 的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论
f
′(
x
)的正负，由符号
确定
f
(
x
)在该区间上的单调性．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
考向一 定义域为 R
【例 1-1】（2021·内蒙古）设函数 .求函数 的单调区间。
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ，
【解析】 的定义域为 ，∵ ，
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数，
故 的减区间为 ，增区间为 ，极小值为 。
【例 1-2】已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【答案】见解析
【解析】因为 ，
知识理解
考向分析
所以 .
令 ，解得 或 .
若 ，当 即 或 时，
故函数 的单调递增区间为 ；
当 即 时，故函数 的单调递减区间为 .
若 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故函数 在 上是增函数.
若 ，当 即 或 时，
故函数 的单调递增区间为 ；
当 即 时，故函数 的单调递减区间为 .
综上， 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
时，函数 单调递增区间为 ；
时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【举一反三】
1.（2021 年广东湛江）已知函数 判断函数 的单调性。
【答案】见解析
【解析】由题意可求，
1.当 时， 在 上为减函数，无极值；
2.当 时，令 ，解得 , 令 ，解得
于是 在 为增函数，在 为减函数；
2．（2021 年河北）若定义在 上的函数 ， ，求函数 的单调区间；
【答案】见解析.
【解析】函数 ，求导得到 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得到 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 单调递增区间为 ；当 时， 单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ；
3．（2021 年广东梅州）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】见解析
【解析】 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减.
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
∴的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
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