考点37 利用导数求单调性（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 37 利用导数求单调性
一．函数的单调性与导数的关系
函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内可导，
(1)若
f
′(
x
)>0，则
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内是单调递增函数；
(2)若
f
′(
x
)<0，则
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内是单调递减函数；
(3)若恒有
f
′(
x
)＝0，则
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
二．已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数
f
(
x
)在区间
D
上单调递增，则在区间
D
上
f
′(
x
)≥0 恒成立；
(2)已知可导函数
f
(
x
)在区间
D
上单调递减，则在区间
D
上
f
′(
x
)≤0 恒成立；
(3)已知可导函数
f
(
x
)在区间
D
上存在增区间，则
f
′(
x
)>0 在区间
D
上有解；
(4)已知可导函数
f
(
x
)在区间
D
上存在减区间，则
f
′(
x
)<0 在区间
D
上有解．
考向一 求单调区间（无参）
【例 1-1】（2020·江苏）函数 的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
由 得 ，解得 ，
因此函数 的单调增区间是 .
知识理解
考向分析
故选：C.
【例 1-2】（2021·湖北高二开学考试）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当 时，解得 ，则函数 的单调递减区间为 .故选：C.
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　　 B.
C．(－∞，－1) D.
【答案】B
【解析】由y＝4x2＋，得 y′＝8x－，
令y′>0，即 8x－>0，解得 x>，
∴函数 y＝4x2＋的单调增区间为.
【方法总结】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0 求出单调区间．
(2)当方程 f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区
间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”
“和”字隔开．
故选 B.
2．（2021·全国课时练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A．B．
C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，且 .
由 ，可得 ，解得 .
所以，函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
3．（2021·江苏常州市·）设函数 ，若函数 的图象在点(1，)处的切线方程为
y=x，则函数 的增区间为（ ）
A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，
∵函数 的图象在点(1，)处的切线方程为 y=x，
∴解得：
∴
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