考点34 零点定理（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 34 零点定理

一．函数的零点

（1）零点的定义：对于函数 y＝f（x），我们把使 f（x）＝0的,实数 x叫做函数 y＝f（x）的零点．

函数的零点不是函数 y=f(x)与x轴的交点，而是 y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个

点，而是一个实数

（2）零点的几个等价关系：

方程 f（x）＝0有实数根函数⇔y＝f（x）的图象与 x轴有交点函数⇔y＝f（x）有零点．

二．函数的零点存在性定理

1.如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）f（b）<0，那么，函数 y

＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c∈（a，b），使得 f（c）＝0，这个 c也就是方程 f（x）＝0的

根．

2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连

续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件

考向一求零点

【例 1】（2021·全国课时练习）函数的零点为（）

A．或 B．

C． D．或(

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

令，得，零点不是点，CD 错误，故选：B.

知识理解

考向分析

【举一反三】

1．（2021·上海市西南位育中学=）函数的零点是___________.

【答案】和

【解析】令

=0，即，解得：和故答案为：和

2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数的零点是__________.

【答案】6 或-1

【解析】解方程得或 .

所以函数的零点是 6 或-1.故答案为：6 或-1.

考向二零点区间

【例 2】（2021·四川高一开学考试）函数的零点所在区间为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，

【方法总结】

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解．

因为，，则 .

因此，函数的零点所在区间为 .

故选：B.

【举一反三】

1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数的零点所在的区间为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】易知函数在上为减函数，

，，则，

因此，函数的零点所在的区间为 .故选：C.

2．（2021·浙江开学考试）函数的零点所在区间是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，可函数为定义域上的单调递减函数，

又由，即，

根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在的区间是 .故选：D.

3．（2021·内蒙古包头市）函数的零点所在区间为（）

A． B． C． D．

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