考点32 对数函数（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 32 对数函数

一．对数函数的概念：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋

∞).

二．y＝logax的3个特征

（1）底数 a>0，且 a≠1

(2)自变量 x>0

(3)函数值域为 R

三．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象与性质

底数 a>1 0<a<1

图

象

性

质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

图象过定点(1，0)，即恒有 loga1＝0

当x>1 时，恒有 y>0；

当0<x<1 时，恒有 y<0

当x>1 时，恒有 y<0；

当0<x<1 时，恒有 y>0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

注

意

当对数函数的底数 a的大小不确定时，需分 a>1 和0<a<1 两种情况进行讨论

四．反函数

指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对称．

知识理解

考向一对数函数辨析

【例 1】（2020·全国课时练习）下列函数为对数函数的是（）

A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)

C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2logax(a＞0且a≠1)

【答案】C

【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所

以函数且是对数函数，而选项 A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数

函数.故选：C.

【举一反三】

1．（2020·全国单元测试）下列函数是对数函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有 D符合.

故选 D

2．（2021·全国高一）下列函数表达式中，是对数函数的有（）

①；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；

⑦.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【答案】B

考向分析

【解析】由于①中自变量出现在底数上， ①不是对数函数；

由于②中底数不能保证，且， ②不是对数函数；

由于⑤⑦的真数分别为，， ⑤⑦也不是对数函数；

由于⑥中的系数为 2， ⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B

3．（2020·全国练习）下列函数，是对数函数的是

A．y=lg10xB．y=log3x2

C．y=lnx D．y=log （x–1）

【答案】C

【解析】由对数函数的定义，形如 y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，

y= =2 、y= 都不是对数函数，只有 y=lnx 是对数函数．故选 C．

考向二对数函数的定义域

【例 2】（1）（2020·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数的定义域是（）

A．B．C．D．

（2）（2021·湖北鄂州市·高一期末）已知的定义域为，那么的取值范围为（

）

A．B．C．D．

【答案】（1）A（2）A

【解析】对于函数，有，解得，

因此，函数的定义域是 .故选：A.

（2）由条件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范围是

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