考点30 周期性和对称性（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 30 周期性和对称性
一．函数的周期性
1.周期函数
对于函数
f
(
x
)，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的任何值时，都有
f
(
x
＋
T
)＝
f
(
x
)，那么
就称函数
f
(
x
)为周期函数，称
T
为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数
f
(
x
)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f
(
x
)的最小正周期．
3．函数周期性常用结论
对
f
(
x
)定义域内任一自变量
x
：
(1)若
f
(
x
＋
a
)＝－
f
(
x
)，则
T
＝2
a
(
a
>0)．
(2)若
f
(
x
＋
a
)＝，则
T
＝2
a
(
a
>0)．
(3)若
f
(
x
＋
a
)＝－，则
T
＝2
a
(
a
>0)．
二．函数图象的对称性
(1)若函数
y
＝
f
(
x
＋
a
)是偶函数，即
f
(
a
－
x
)＝
f
(
a
＋
x
)，则函数
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝
a
对称．
(2)若对于 R上的任意
x
都有
f
(2
a
－
x
)＝
f
(
x
)或
f
(－
x
)＝
f
(2
a
＋
x
)，则
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝
a
对称．
(3)若函数
y
＝
f
(
x
＋
b
)是奇函数，即
f
(－
x
＋
b
)＋
f
(
x
＋
b
)＝0，则函数
y
＝
f
(
x
)关于点(
b
，0)中心对称．
考向一 对称性
【例 1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数 定义域为 ，满足 ，且对任
意 均有 成立，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B．
知识理解
考向分析
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于直线 对称，
因为对任意 均有 成立，所以函数 在 上单调递减
.
由对称性可知 在 上单调递增.
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，解得
.
故选：D
.
【举一反三】
13（2021·浙江）已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 图象的对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以 ，故选：C.
2.（2019·福建师大二附中）函数 在 上是增函数，函数 是偶函数，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 在 上是增函数，
∴ 在 上是增函数，
由函数 是偶函数，知： 在 上是减函数，
而 ，由 ，
∴ .故选：B
考向二 周期性
【例 2】（2021·曲靖市第二中学）已知函数 是定义在 上的奇函数， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 是奇函数，∴ ，
又 ，∴ 是周期函数，周期为 4．
∴ ．故选：A．
【举一反三】
1．（2021·山东聊城市）已知定义在
R
上的奇函数 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
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