考点29 单调性与奇偶性（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 29 单调性与奇偶性
一．单调性
（一）增函数、减函数的定义
1. 增 函 数 ： 如 果 对 于 定 义 域
I
内 某 个 区 间
D
上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值
x
1，
x
2， 当
x
1<
x
2时 ， 都 有
f
(
x
1)<
f
(
x
2)，那么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增函数．
数学符号：：∀
x
1，
x
2∈[
a
，
b
]且
x
1≠
x
2，则(
x
1－
x
2)[
f
(
x
1)－
f
(
x
2)]>0 >0⇔ ⇔
f
(
x
)在[
a
，
b
]上是增函数
2. 减 函 数 ： 如 果 对 于 定 义 域
I
内 某 个 区 间
D
上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值
x
1，
x
2， 当
x
1<
x
2时 ， 都 有
f
(
x
1)>
f
(
x
2)，那么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是减函数．
数学符号：(
x
1－
x
2)[
f
(
x
1)－
f
(
x
2)]<0 <0⇔ ⇔
f
(
x
)在[
a
，
b
]上是减函数．
（二）判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果
f
(
x
)是以图象形式给出的，或者
f
(
x
)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
(三）复合函数的单调性
y
＝
f
[
g
(
x
)]的单调性与
y
＝
f
(
u
)和
u
＝
g
(
x
)的单调性有关．简记：“同增异减”
知识理解
二．单调性的应用
（一）最值
1.定义：设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：
(1)对于任意的
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤
M
或
f
(
x
)≥
M
．
(2)存在
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0)＝
M
.那么，我们称
M
是函数
y
＝
f
(
x
)的最大值或最小值．
（二）解不等式
（三）比较大小
三．函数的奇偶性
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数
f
(
x
)的定义域内任意一个
x，
都有
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，那么函数
f
(
x
)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数
f
(
x
)的定义域内任意一个
x，
都有
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，那么函数
f
(
x
)是偶函数
偶函数的图像关于
y
轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数
f
(
x
)是奇函数且在
x
＝0 处有定义，则一定有
f
(0)＝0；如果函数
f
(
x
)是偶函数，那么
f
(
x
)＝
f
(|
x
|)．
3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
四．判断函数奇偶性的 3 种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验
证
f
(－
x
)＝±
f
(
x
)或其等价形式
f
(－
x
)±
f
(
x
)＝0 是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设
f
(
x
)，
g
(
x
)的定义域分别是
D
1，
D
2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，
偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考向一 无参数函数的单调性
【例 1】（1）函数 的单调递减区间为
（2）（2020·荆州市沙市第四中学）函数 的单调减区间为______.
（3）（2021·北京市）函数
f
(
x
)
=ln x−2x
的单调递增区间是_____．
（4）（2020·甘肃省民乐县第一中学）已知函数 ，则单调递增区间是
（5）（2021·重庆北碚区·西南大学附中）函数 的单调递增区间是
【答案】（1） （2） 、 （3）
(
0，1
2
)
（4） （5）
【解析】（1） 函数 的二次项的系数大于零， 抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是 ， 函数的单调递减区间是 ．
（2）由 知 ，即 的定义域为 ，作出 的图像如图所示：
由图可知： 的单调递减区间为 和 .故答案为： 、 .
考向分析
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