考点27 空间几何体的外接球（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 27 空间几何体的外接球

1. 墙角模型

(1) 使用范围：3 组或 3 条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

(2) 秒杀公式：

（4）图示过程

(3) 秒杀公式：

2. 汉堡模型

（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

（2）推导过程

第一步：取底面的外心 O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置

第二步：根据勾股定理可得

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

知识理解

3. 斗笠模型

（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

（2）推导过程

第一步：取底面的外心 O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高 h

第二步：在 h 上取一点作为球心 O

第三步：根据勾股定理

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

4. 切瓜模型

（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

（2）推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心 F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为

球心 O，取 BC 的中点为 M，连接 FM、MN、OF、ON

第二步：

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

考向一墙角模型

【例 1】（2021·平罗中学高三期末）已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线

与底面成角，则此长方体的外接球表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，

因为在长方体中，侧棱底面，

则为与底面所成角，即，

因为长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，

考向分析

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