考点26 空间向量在空间几何中的运用（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 26 空间向量在空间几何中的运用
一．设直线 ， 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， ，则有如下结论：
位置关系 向量表示
线线位
置关系
直线
l
1，
l
2的方向向量分别
为 ，
l
1∥
l
2∥⇔＝
k
(
k
∈R)
l
1⊥
l
2⊥⇔· ＝0
线面位
置关系
直线
l
的方向向量为 ，平
面
α
的法向量为
l
∥
α
⊥⇔· ＝0
l
⊥
α
∥⇔＝
k
(
k
∈R)
面面位
置关系
平面
α
，
β
的法向量分别
为 ，
α
∥
β
∥⇔＝
k
(
k
∈R)
α
⊥
β
⊥⇔· ＝0
二．点面距
已知 为平面 的一条斜线段( 在平面 内)， 为平面 的法向量，则 到平面 的距离为
注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问
题．
三．异面直线所成角
知识理解
设异面直线
a
，
b
所成的角为
θ
，则 cos
θ=
，其中 分别是直线 a、b 的方向向量
四．直线与平面所成角
l
为平面
α
的斜线， 为
l
的方向向量， 为平面
α
的法向量，
φ
为
l
与
α
所成的角，则
（直线与平面所成角的范围为\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π）
五．二面角
平 面 α的 法 向 量 为 ， 平 面 β的 法 向 量 为 ， 〈 ， 〉 ＝ θ， 设 二 面 角 大 小 为 φ， 则
考向一 空间向量证平行垂直
【例 1】（2020·全国高三专题练习）如图所示，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
ABCD
为正方形，△
PAD
是直角三
角形，且
PA
＝
AD
＝2，
E
，
F
，
G
分别是线段
PA
，
PD
，
CD
的中点.求证：
（1）
PB
//平面
EFG
；
（2）平面
EFG
//平面
PBC
.
考向分析
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为平面
PAD
⊥平面
ABCD
，且
ABCD
为正方形，所以
AB
，
AP
，
AD
两两垂直.
以
A
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz
，则
A
(0,0,0)，
B
(2,0,0)，
C
(2,2,0)，
D
(0,2,0)，
P
(0,0,2)，
E
(0,0,1)，
F
(0,1,1)，
G
(1,2,0).　
法一：
设平面
EFG
的法向量为 ，
则 ,即 ,令
z
＝1，则 为平面
EFG
的一个法向量，
∵ ，
∴ ，所以 ，
∵
PB
⊄平面
EFG
，
∴
PB
//平面
EFG
.
法二： ， ， .
设 ，
即(2,0,－2)＝
s
(0,－1,0)＋
t
(1,1,－1)，
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