考点21 相互独立事件与正态分布（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 21 相互独立事件与正态分布

一．相互独立事件

(1)对于事件 A，B，若事件 A的发生与事件 B的发生互不影响，则称事件 A，B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则 P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则 A与，与 B，与也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则 A与B相互独立．

（5）相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验

中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

（6）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件 A，B相互独立时，公式才成立，此时 P(B)＝P(B|A)．

二．正态分布

（一）正态曲线的特点

① 曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；

② 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；

③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；

④ 曲线与 x轴之间的面积为 1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随着 μ的变化而沿 x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越

“矮胖”，表示总体的分布越分散．

（二）正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.

知识理解

考向分析

考向一相互独立实验

【例 2】（2020·九江市同文中学高三期中）某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情

况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共 5 题）和选答题（共 2 题）两部分.

每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道

选答题的概率为 .

（1）求甲恰好答对 4 道必答题的概率；

（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励 5 分，答错扣 2 分，选择放弃回答得 0 分.已知甲同学对于选答

的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）甲恰好答对 4 道必答题的概率为 .

（2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放

弃回答的概率为 .

甲得分的可能性为分，分，0 分，3 分，5 分和 10 分.

所以，

，

所以的分布列为

0 3 5 10

【举一反三】

1．（2020·广西桂林十八中高三月考）张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班

路上有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；

路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，， .

（1）若走路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；

（2）若走路线，求遇到红灯次数

的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分别列答案见解析，数学期望： .

【解析】（1）设走路线最多遇到 1 次红灯为

事件，

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