考点20 超几何分布与二项分布（新高考地区专用）（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 20 超几何分布与二项分布

一．分布列

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i＝1,2，

…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1x2…xi…xn

P p1p2…pi…pn

为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；② p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

二．两点分布

如果随机变量 X的分布列为

X0 1

P1－pp

其中 0<p<1，则称离散型随机变量 X服从两点分布．其中 p＝P(X＝1)称为成功概率．

三．超几何分布

1.概念：一般地，设有 N件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任取 n(n≤N)件产品，用 X表示取出的 n件

产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即

X0 1 … m

P…

其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，NN∈*.

如果一个随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布．

2.特征

（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数

（2）考察对象分两类

（3）已知各类对象的个数

（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的

小球等概率模型，其实质是古典概型

知识理解

四．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试

验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数．设每次试验中事件 A发生的概率为 p，则 P(X＝k)

＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记为 X～B(n，p)，并称 p为成功概率．

五．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件 A和B，在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|

A)来表示，其公式为 P(B|A)＝(P(A)>0)．

在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A中基本事件的个数，则 P(B|A)＝.

(2)条件概率具有的性质

0≤①P(B|A)≤1；②如果 B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

考向一离散型随机变量的分布列的性质

【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）随机变量的分布列如表：

若，则（）

A． B． C． D．

（2）（2021·浙江高三）已知随机变量的分布列是

则（）

A． B． C． D．

考向分析

【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习）随机变量

的分布列如下，的值为（）

A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9

2．（2020·全国高三专题练习）随机变量的分布列如表所示，若，则（

）

-1 0 1

A．4 B．5 C．6 D．7

【方法总结】

1．随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量 X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取 n次；(2)随机变量 X表

示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．

2.离散型随机变量分布列的求解步骤

三．若 Y＝aX＋b，其中 a，b是常数，X是随机变量，则

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；

(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；

(5)若X1，X2相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；

(6)若X～N(μ，σ2)，则 X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

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