考点19 二项式定理（新高考地区专用）（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 19 二项式定理

一．二项式定理

（1）二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(nN∈*)

（2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 k＋1项

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C，C，…，C

（4）项数为 n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n

二．二项式系数的性质

三．指定项的系数或二项式系数

1.解题思路：通项公式

2.常见指定项：若二项展开式的通项为 Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项

(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项

(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项

(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项

三．系数和---赋值法

1．赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，bR)∈的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，bR)∈的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果 n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

(2)如果 n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

知识理解

考向一二项展开式中特定项及系数

【例 1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式的展开式中的系数为

（2）（2021·上海高三一模）在的二项展开式中，常数项等于____.

（3）（2020·全国高三）在的展开式中，有理项共有项

（4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）展开式中 x的系数为 80，则 a等于。

【举一反三】

1．（2020·上海奉贤区·高三一模）在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）

2．（2020·四川成都市·高三一模）的展开式中的系数是______．（用数字作答）

3．（2020·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（）

A．B．C．D．

4．（2020·全国高三）二项式的展开式中的系数是，则（）

A．1 B．C．D．

5．（2020·山东高三专题练习）的展开式中的系数是-10，则实数 ( )

A．2 B．1 C．-1 D．-2

考向分析

6．（2020·广东高三一模）当为常数时，展开式中常数项为，则 ________．

考向二二项式系数的性质

【例 2】（1）（2020·黑龙江大庆市·高三三模）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则

展开式中含项的系数是（）

A．B．

C．D．

（2）．（2020·江西高三其他）已知的展开式的第 4项与第 8项的二项式系数相等，则

展开式中的系数为（）

A．80 B．40 C．D．

【举一反三】

1．（2020·四川绵阳市·高三三模）在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式

中常数项为（）

A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360

2．（2020·全国高三专题练习）在的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中

的系数为（）

A．B．C．D．7

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