考点19 二项式定理（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 19 二项式定理

一．二项式定理

（1）二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(nN∈*)

（2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 k＋1项

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C，C，…，C

（4）项数为 n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n

二．二项式系数的性质

三．指定项的系数或二项式系数

1.解题思路：通项公式

2.常见指定项：若二项展开式的通项为 Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项

(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项

(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项

(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项

三．系数和---赋值法

1．赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，bR)∈的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，bR)∈的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果 n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

(2)如果 n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

知识理解

考向一二项展开式中特定项及系数

【例 1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式的展开式中的系数为

（2）（2021·上海高三一模）在的二项展开式中，常数项等于____.

（3）（2020·全国高三）在的展开式中，有理项共有项

（4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）展开式中 x的系数为 80，则 a等于。

【答案】（1）（2）240（3）5（4）-2

【解析】(1）由二项式定理可知，令，得，

所以的展开式中的系数为 .故选：C

（2）在的二项展开式中，通项公式为，

令，求得，可得展开式的常数项为，故答案为：240．

（3）由题意可得二项展开式的通项

根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则 r＝0，6，12，18，24，共有 5项，

（4）展开式的通项公式为

的系数为，解得 .

考向分析

【举一反三】

1．（2020·上海奉贤区·高三一模）在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）

【答案】

【解析】展开式的通项为，

令，可得，所以常数项为，故答案为：

2．（2020·四川成都市·高三一模）的展开式中的系数是______．（用数字作答）

【答案】

【解析】由题设二项式知：，

∴项，即，∴系数为，故答案为： .

3．（2020·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，

得展开式的通项为，则展开式的通项为，

由，得，所以所求的系数为 .故选：C.

4．（2020·全国高三）二项式的展开式中的系数是，则（）

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