考点18 排列组合（新高考地区专用）（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 18 排列组合
一．计数原理
（一）分类加法计数原理
1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有
m
种不同的方法，在第 2 类方案中有
n
种不同的
方法，那么完成这件事共有
N
＝
m
＋
n
种不同的方法．
2.特征
（1）每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就
可完成这件事
（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
（二）分步乘法计数原理
1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有
m
种不同的方法，做第 2 步有
n
种不同的方法，那么完成
这件事共有
N
＝
m
×
n
种不同的方法．
2.特征
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件
事
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
二．排列、组合
（一）排列组合定义
排列的定义
从
n
个不同元素中取
出
m
(
m
≤
n
)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
（二）排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个
元素的所有不同排列的个数
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个
元素的所有不同组合的个数
公式 A＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)＝
C＝＝
性质 A＝
n
！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知识理解
考向一 排列组合数的计数
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）若 ，则 的值为（ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
（2）（2020·全国高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考）若 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2020·全国高三专题练习）已知 ,则 （）
A． B． C． 或 3 D．
考向二 排队问题
【例 2】（2020·全国高三专题练习）3 名女生和 5 名男生排成一排．
（1）若女生全排在一起，有多少种排法？
（2）若女生都不相邻，有多少种排法？
（3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？
（4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
考向分析
【举一反三】
1．（2021·河北张家口市·高三期末）某班优秀学习小组有甲 乙 丙 丁 戊共､ ､ ､ ､ 5 人，他们排成一排照相，
则甲 乙二人相邻的排法种数为（ ）､
A．24 B．36 C．48 D．60
2．（2020·上海高三专题练习）6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
3．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前
面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（ ）
A．72 种 B．144 种 C．360 种 D．720 种
4．（2020·江苏南通市·高三月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课
可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6 门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不
排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________．
5.有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
考向三 排数问题
【例 3】（2020·全国高三专题练习）现有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
【方法总结】
排列问题常用方法
1. 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
2. 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆
绑元素的内部排列
4.插空法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相
邻的元素插在前面元素排列的空档中
5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
6.间接法：正难则反、等价转化的方法
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