考点18 排列组合（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 18 排列组合
一．计数原理
（一）分类加法计数原理
1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有
m
种不同的方法，在第 2 类方案中有
n
种不同的
方法，那么完成这件事共有
N
＝
m
＋
n
种不同的方法．
2.特征
（1）每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就
可完成这件事
（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
（二）分步乘法计数原理
1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有
m
种不同的方法，做第 2 步有
n
种不同的方法，那么完成
这件事共有
N
＝
m
×
n
种不同的方法．
2.特征
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件
事
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
二．排列、组合
（一）排列组合定义
排列的定义 从
n
个不同元素中取
出
m
(
m
≤
n
)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
（二）排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个
元素的所有不同排列的个数
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
，
m
，
n
∈N*)个
元素的所有不同组合的个数
公式 A＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)＝
C＝＝
性质 A＝
n
！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
知识理解
考向一 排列组合数的计数
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）若 ，则 的值为（ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
（2）（2020·全国高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】（1）D（2）B
【解析】（1） ，解得 或 （舍去），
.故选：D.
（2）∵ ，∴ ，整理，得， ；
解得 ，或 (不合题意，舍去)；∴ 的值为 12.故选：B.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【解析】 ，可得 ，
即 ，解得 .故选： .
2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考）若 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
考向分析
【解析】因为 ，所以
所以 即 ，即
解得 故选：D
3．（2020·全国高三专题练习）已知 ,则 （）
A． B． C． 或 3 D．
【答案】C
【解析】 当 时成立；当 时也成立；故选 C.
考向二 排队问题
【例 2】（2020·全国高三专题练习）3 名女生和 5 名男生排成一排．
（1）若女生全排在一起，有多少种排法？
（2）若女生都不相邻，有多少种排法？
（3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？
（4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【答案】（1）4320；（2）14400；（3）20160；（4）30960.
【解析】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，
这样同 5 名男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 种排法，
而其中每一种排法中，3 名女生之间又有 种排法，
因此，共有 种不同排法；
（2）（插空法）先排 5 名男生，有 种排法，
这 5 名男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 种排法，
因此共有 种不同排法；
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