考点17 特征数及抽样方法（新高考地区专用）（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 17 特征数及抽样方法

一．三种抽样方法

（一）简单随机抽样

1.概念：一般地，从元素个数为

的总体中逐个不放回地抽取容量为

的样本，如果每一次抽取时总体中

的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法（重点掌握随机数表法的读数）

3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.

（二）系统抽样

1.概念及步骤：假设要从容量为

的总体中抽取容量为

的样本，

第一步，先将总体的

个个体编号；

第二步，确定分隔间距

，对编号进行分段，当(

是样本容量)是整数时，取

＝；当(

是样本容量)不是

整数时，先用简单随机抽样剔除-[]个个体，取

＝[]；

第三步，在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号

(

≤

)；

第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将

加上间隔

得到第 2 个个体编号

l k

，再加

得到第 3 个

个体编号

2l k

，依次进行下去，直到获取整个样本．

2. 系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等.

3. 特征：等间隔抽样，每组抽一个号码，号码数符合等差数列的通项公式

三．分层抽样

1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽

样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体

中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．

2.应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系

统抽样．

3.特征：等比例抽样

二．频率分布直方图（表）

1.频率分布直方图基础概念

知识理解

① 纵轴表示，

② 频率：数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示

③ 各小长方形的面积总和等于 1．

④ 分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条

光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律．

2.频率分布直方图的步骤如下

(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；

(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．

三．茎叶图

1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位

数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样

的图叫做茎叶图．

当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．

2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是

在比赛时随时记录，方便记录与表示．

四．样本的数字特征

特征数具体数字算法频率分布直方图（表）

众数次数出现最多的数字频率最大或最高组的中间值

中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中

间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当

中两个数据的平均数作为中位数

频率等于 0.5时的横坐标

平均数所有数字之和除以总个数每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐

标之和

方差

2＝[(

1－x)2＋(

2－x)2＋…＋(

－x)2]．

平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据

的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定

考向分析

考向一抽样方法

【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从，，，…，

，这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的个号码，选取方法是从第

行第列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为（）

A．B．C．D．

（2）（2020·全国高三专题练习）某校高一、高二、高三共有 2800 名学生，为了解暑假学生在家的每天

学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为 56 人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为 19 人，

则该校高二学生人数为（）

A．900 B．950 C．1000 D．1050

（3）（2020·云南省保山第九中学高三月考）某一考场有64 个试室，试室编号为 001﹣064，现根据试室

号，采用系统抽样法，抽取 8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021 试室号，则下列可能被抽到的试室

号是（）

A．029，051B．036，052C．037，053D．045，054

（4）（2020·全国高三专题练习）某中学有学生 300 人，其中一年级 120 人，二，三年级各90 人，现要

利用抽样方法取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随

机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为 1,2，…，300；使用系统抽样时，将学生

统一编号为 1,2，…，300，并将整个编号依次分为 10段．如果抽得的号码有下列四种情况：

①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277；

②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299；

③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281；

④31,61,91,121,151,181,211,241,271,299．

关于上述样本的下列结论中，正确的是（）

A．②④都不能为分层抽样 B．①③都可能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样 D．②③都不能为系统抽样

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