考点14 等比数列（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 14 等比数列

一．等比数列的有关概念

定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做

等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q.

二．等比数列的有关公式

1.通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.

2.前n项和公式：

三．等比数列的性质

1.等比中项

（1）如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即 G是a与b的等比中项

⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

（2）若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.

2.前n项和的性质

（2）{an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，，，…成等比数列

（3）当 q≠0，q≠1 时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k＝.

考向一等比数列基本运算

【例 1】（1）（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考）设等比数列{an}的前 n项和是 Sn，a2＝﹣2，a5＝

﹣16，则 S6＝

（2）（2021·全国高三专题练习）等比数列中，．记为的前项和.若

知识理解

考向分析

，=________．

（3）（2020·江西高三其他模拟）已知数列是正项等比数列，且，又，，成等

差数列，则的通项公式为

【答案】（1）﹣63（2）6（3）

【解析】（1）设公比为，则，即，解得，所以，

所以，故选:A.

（2）设的公比，由可得，

当时，所以，即，此时方程没有正整数解；

当时，所以，即，解得 .故答案为：6.

A．B．C．D．

（3）由题意，设数列的公比为，

因为，所以，解得（负值舍去）；

又，，成等差数列，

所以，即，

则，解得， .

【举一反三】

1．（2020·济南旅游学校）设等比数列满足，，则公比 ______．

【答案】

【解析】由于数列是等比数列，故由，可得，

，两式作比可得：，解得，即 .故答案为：

2．（2020·河南高三月考）已知等比数列满足且，则 ________.

【答案】

【解析】因为，所以 .故由等比数列的通项公式得 .故答案为：

3．（2020·河南高三其他模拟）已知在等比数列中，，，则数列的

通项公式为_______.

【答案】或

【解析】设等比数列的公比为 q，因为，所以，解得，

【方法总结】

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量

a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当 q＝1时，{an}的前 n项和 Sn＝na1；当 q≠1

时，{an}的前 n项和 Sn＝＝.

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