考点12-2 二项式定理 (理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点 12-2 二项式定理
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 ()
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】B
【分析】采用赋值法，令 和 得到不同的系数和，两个系数和相加即可求 ．
【详解】 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
两式相加可得 ，∴ ．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第 项的二项式系数为 ，
故选：A.
3．（2015·山东·高考真题） 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）
A．0 B．C．D．32
【答案】D
【分析】根据 的二项展开式系数之和为 求解即可
【详解】 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
4.（2021·山东·高三开学考试）设 ，则 除以 9所得的余数为______．
【答案】8
【分析】根据已知条件将 a写为 ，即 ，展开后观察式子即可得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 除以 9所得的余数为 8．
故答案为：8
5．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为______
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式，然后利用组合知识求解出指定项系数，求出和.
【详解】 ，则 的系数为 1，
的系数为 ，
所以在 的展开式中含 和含 的项的系数之和为 ．
故答案为：-674
6.（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （）
A．270 B．135 C．135 D．270
【答案】B
【分析】以 代替 ，可得 ，求出 的系数，即可得答案
【详解】 ，
以 代替 ，得 ，
所以其通项公式为 ，
令 ，
所以 ，
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （）
A．B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用赋值法分别赋值 和 求系数和，即得.
【详解】∵ ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
，即 .
故选：C.
8．（2022·北京·清华附中模拟预测）二项式 的展开式中 的系数与 的系数之比为（）
A．6 B．-6 C．15 D．-15
【答案】B
【分析】根据二项式写出含 、 的项，即可得结果.
【详解】由题设 ，
所以含 项为 ，含 项为 ，，
则系数之比为-6.
故选：B
9.（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中常数项为______
【答案】
【分析】利用组合知识进行求解.
【详解】将原式看成 6个相同的因子相乘，按 x的选取个数分类，
得展开式中常数项为 ．
故答案为：-59
10．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为 6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
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