考点12 基本不等式（新高考地区专用）（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

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考点 12 基本不等式
一．基本不等式公式
二．几个重要结论
(1)≥2
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)
三．利用基本不等式求最值问题
已知
x
>0，
y
>0，则
(1)如果积
xy
是定值
p
，那么当且仅当
x
＝
y
时，
x
＋
y
有最小值 2.(简记：积定和最小)
(2)如果和
x
＋
y
是定值
p
，那么当且仅当
x
＝
y
时，
xy
有最大值.(简记：和定积最大)
考向一 公式的直接运用
【例 1（2020·辽宁高三期中）已知 ，那么 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】根据题意， ，则 ，当且仅当 时等号成立，即 的最小值是
4；
故选：C.
知识理解
考向分析
【举一反三】
1．（2020·河北高三月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为 .当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 12，故答案为：12
2．(必修 5P99 例 1(2)改编)若
x
>0，
y
>0，且
x
＋
y
＝18，则的最大值为 。
【答案】9
【解析】因为
x
＋
y
＝18，所以≤＝9，当且仅当
x
＝
y
＝9 时，等号成立．
3．(必修 5P100 练习 T1改编)设
a
>0，则 9
a
＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】6
【解析】因为
a
>0，所以 9
a
＋≥2 ＝6，当且仅当 9
a
＝，即
a
＝时，9
a
＋取得最小值 6.
考向二 配凑型
【例 2】（1）（2020·全国高三专题练习）当 时，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·全国高三专题练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．
【方法总结】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必
须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值
就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
C． D．
（3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）若正数
a
，
b
满足 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
(4)（2021·全国高三专题练习）已知
f
(
x
)＝ ，则
f
(
x
)在 上的最小值为（ ）
A． B．
C．－1 D．0
【答案】（1）D（2）D（3）C(4)D
【解析】（1）∵ ， ， ，
当 ，即 时等号成立，∴ ，即最大值为 ，故选：
D
.
（2）因为 ，所以 ，当且仅当
，即 时等号成立.所以函数 的最小值是 .故选：
D.
(3)由 ，可得 ， ，
所以
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