专题08 立体几何综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

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专题 08 立体几何综合
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】已知正方体
ABCD− A1B1C1D1
，则
¿

¿
A.直线
BC1
与
D A1
所成的角为
90∘
B.直线
BC1
与
所成的角为
90∘
C.直线
BC1
与平面
B B1D1D
所成的角为
45∘
D.直线
BC1
与平面
ABCD
所成的角为
45∘
【答案】
ABD
【分析】
本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题．
【解答】
解：如图，因为
BC1⊥B1C
，
B1C/¿D A1
，所以
BC1⊥D A1
，故A正确
;
对于选项B
:
因为直线
BC1⊥
平面
CD A1B1
，且
C A1⊂
平面
CD A1B1
，所以直线
BC1⊥C A1
，故
B正确
;
对于选项C
:
连接
A1C1
与
B1D1
交于点
O1
，则
∠O1BC1
即为直线
BC1
与平面
B B1D1D
所成的角，
sin ∠O1B C1=O1C1
B C1
=1
2
，所以
∠O1BC1=30∘
，故C错误
;
对于选项D
:
直线
BC1
与平面
ABCD
所成的角即为
∠C1BC=45∘
，所以D正确．
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】如图，直三棱柱
ABC − A1B1C1
的体积为
4
，
△A1BC
的面积为
2❑
√
2
．
(1)
求
A
到平面
A1BC
的距离
;
(2)
设
D
为
A1C
的中点，
A A1=AB
，平面
A1BC ⊥
平面
AB B1A1
，求二面角
A − BD − C
的正弦值．
【答案】解：
(1)
设
A
到平面
A1BC
的距离为
d
，
因为直三棱柱
ABC − A1B1C1
的体积为
4
，即可得
S△ABC · A A1=4
，
故
VA1− ABC=1
3S△ABC · A A1=4
3
，
又
VA1− ABC=VA − A1BC=1
3S△A1BC ·d =1
3×2❑
√
2×d =4
3
，
解得
d=❑
√
2
，所以
A
到平面
A1BC
的距离为
❑
√
2
；
(2)
连接
A B1
，因为直三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
A A1=AB
，
故
A A1B1B
为正方形，即
A B1⊥A1B
，
又平面
A1BC ⊥
平面
AB B1A1
，平面
A1BC ∩
平面
AB B1A1=A1B
，
A B1⊂
平面
AB B1A1
，
故
A B1⊥
平面
A1BC
，所以
A B1⊥BC
，
又因为
A A1⊥BC
，
A B1, A A1⊂
平面
AB B1A1
，且
A B1∩ A B1=A
，
故
BC ⊥
平面
AB B1A1
，则
BC ⊥AB
，
所以
B B1, AB , BC
三条直线两两垂直，
故如图可以以
B
为原点建立空间直角坐标系，
设
A A1=AB=a
，
BC=b
，则
A1B=❑
√
2a
，
由条件可得
{
1
2a × b ×a=4
1
2×❑
√
2a × b=2❑
√
2
，解得
{
a=2
b=2,
则
B(0,0,0)
，
C(2,0,0)
，
A(0,2,0)
，
A1(0,2,2)
，
A1C
的中点
D(1,1,1)
，
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