专题08向量方法解决角和距离（练）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 08 立体几何中的角和距离（练）（理）

1．【2021·全国高考真题】如图，在三棱锥

A BCD

中，平面

ABD 

平面

BCD

，

AB AD

，

为

的中点.

（1）证明：

OA CD

；

（2）若

OCD

是边长为 1的等边三角形，点

在棱

上，

2DE EA

，且二面角

E BC D 

的

大小为

45

，求三棱锥

A BCD

的体积.

【答案】(1)详见解析(2)

【分析】（1）根据面面垂直性质定理得 AO⊥平面 BCD，即可证得结果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

【解析】（1）因为 AB=AD,O 为BD 中点，所以 AO⊥BD

因为平面 ABD



平面 BCD

=BD

,平面 ABD⊥平面 BCD，

AO 

平面 ABD，

因此 AO⊥平面 BCD，

因为

CD 

平面 BCD，所以 AO⊥CD

(2)作EF⊥BD 于F,作FM⊥BC 于M,连FM

因为 AO⊥平面 BCD，所以 AO⊥BD,AO⊥CD

所以 EF⊥BD,EF⊥CD,

BD CD D 

,因此 EF⊥平面 BCD，即 EF⊥BC

因为 FM⊥BC，

FM EF FI

,所以 BC⊥平面 EFM，即 BC⊥ME

则

EMF

为二面角 E-BC-D 的平面角,

EMF



 

因为

BO OD

OCD

为正三角形,所以

BCD

为直角三角形

因为

2DE EA

1 1 1 2

(1 )

2 2 3 3

FM BF    

从而 EF=FM=

3AO 

AO Q

平面 BCD,

所以

1 1 1 3

1 1 3

3 3 2 6

BCD

V AO S



       

【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.

2．【2021·浙江高考真题】如图，在四棱锥

P ABCD

中，底面

ABCD

是平行四边形，

120 , 1, 4, 15ABC AB BC PA     

，M，N分别为

,BC PC

的中点，

,PD DC PM MD 

（1）证明：

AB PM

；

（2）求直线

与平面

PDM

所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

．

【分析】（1）要证

AB PM

，可证

DC PM

，由题意可得，

PD DC

，易证

DM DC

，从

而

DC 

平面

PDM

，即有

DC PM

，从而得证；

（2）取

中点

，根据题意可知，

, ,ME DM PM

两两垂直，所以以点

为坐标原点，建立空

间直角坐标系，再分别求出向量



和平面

PDM

的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求

出．

【解析】（1）在

DCM△

中，

1DC 

，

2CM 

，

60DCM 



，由余弦定理可得

3DM 

，

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