专题09 直线与圆-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

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专题 09 直线与圆
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】写出与圆
x2+y2=1
和
¿
都相切的一条直线的方程
【答案】
x+1=0

7x−24 y−25=0

3x+4y−5=0¿
填一条即可
¿
【分析】
本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．
【解答】
解：方法
1 :
显然直线的斜率不为
，不妨设直线方程为
x+by +c=0
，于是
¿c∨¿
❑
√
1+b2=1¿
，
¿3+4b+c∨¿
❑
√
1+b2=4¿
．
故
c2=1+b2①
，
¿3+4b+c∨¿∨4c∨.
于是
3+4b+c=4c
或
3+4b+c=−4c
，再结合
①
解得
{
b=0
c=1
或
{
b=−24
7
c=−25
7
或
{
b=4
3
c=−5
3
，所以直线方程有三条，分别为
x+1=0
，
7x−24 y−25=0
，
3x+4y−5=0
．
¿
填一条即可
¿
方法
2 :
设圆
x2+y2=1
的圆心
O(0,0)
，半径为
r1=1
，圆
¿
的圆心
C(3,4)
，半径
r2=4
，则
¿OC∨¿5=r1+r2
，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然
x+1=0
符合题意；
又由方程
¿
和
x2+y2=1
相减可得方程
3x+4y−5=0
，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线
OC
的方程为
4x−3y=0
，
直线
OC
与直线
x+1=0
的交点为
(−1,−4
3)
，设过该点的直线为
y+4
3=k(x+1)
，则
|
k−4
3
|
❑
√
k2+1
=1
，解
得
k=7
24
，
从而该切线的方程为
7x−24 y−25=0.¿
填一条即可
¿
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】设点
A(−2,3)
，
B(0, a)
，直线
AB
关于直线
y=a
的对称直线为
l
，已知
l
与圆
C:¿
有公共点，
则
a
的取值范围为．
【答案】
[1
3,3
2]
【分析】
本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为
kAB =a−3
2
，所以
AB
关于直线
y=a
的对称直线为
(3−a)x−2y+2a=0
，所以
|
3(a−3)+4+2a
|
❑
√
4+
(
3−a
)
2⩽1
，整理可得
6a2−11 a+3⩽0,
解得
1
3≤ a ≤ 3
2
．
【命题意图】
考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公
式。考察圆的标准方程与一般方程。能判断直线和圆的位置关系，判断两个圆的位置关系，能用直线和圆
的方程解决问题。
【命题方向】
直线与圆常见为中等题，多考察直线与圆的位置关系，动点与圆，圆与圆的关系。考察圆的切线，考察直
线与圆相交弦，考察与圆有关的角度，点或者动点与圆的存在或者恒成立问题等等综合应用。涉及到解析
法，几何法，三角函数，函数与最值范围等等方面的应用。试题涉及知识多，综合面广。
【得分要点】
一、直线倾斜角与斜率对应关系
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围)k＝0k>0 不存在 k<0
二、直线方程的五种形式
形式 方程 局限
点斜式 y － y 0＝ k ( x － x 0)不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠ x 2， y 1≠ y 2
截距式 ＋＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 无
三、方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
四、圆与直线位置关系
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