专题9-1 圆锥小题压轴九类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版)

3.0 envi 2025-03-06 4 4 2.11MB 30 页 3知币

专题 9-1 圆锥小题压轴九类

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】第一定义及其应用..........................................................................................................................1

【题型二】第二定义及应用..............................................................................................................................3

【题型三】第三定义及其应用..........................................................................................................................5

【题型四】焦点三角形与离心率......................................................................................................................7

【题型五】定比分点.........................................................................................................................................10

【题型六】焦点三角形与四心........................................................................................................................12

【题型七】共焦点的椭圆和双曲线性质........................................................................................................14

【题型八】切线与切点弦................................................................................................................................17

【题型九】多曲线.............................................................................................................................................19

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................23

【题型一】第一定义及其应用

【典例分析】已知椭圆，F1，F2为其焦点，平面内一点 P满足 PF2F⊥1F2，且

，线段 PF1，PF2分别交椭圆于点 A，B，若，则 =___

【答案】

【详解】如图所示，由椭圆的方程可知，，又由，且

，所以为等腰直角三角形，又由，所以点为线段的中点，则

，且，在等腰直角中，因为，可得，

又由椭圆的定义可知，即，即，又由，所以，又因为

，所以直线的方程为，联立方程组，解得，即

，所以。

【提分秘籍】

1．三大曲线第一定义

椭圆第一定义：

双曲线第一定义：

抛物线定义：

2．解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离．

【变式演练】

1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双

曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为 16，则的

最大值为______.

【答案】4

【详解】如图：

由的周长为 16，所以的周长为 32，AB 是双曲线的通径，，

，可得，

可得则，当且仅当，即时等号成立，

故填 .

2．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，线段的

中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．

【答案】

【解析】

如图所示，设抛物线的准线 L,做 AQ L，于点 Q，BP L 于点 P，抛物线定义可设：|AF|=|AQ|=a，|BF|=|

BP|=b。由勾股定理可知，，由梯

形的中位线的性质可知，

，则：，当且解

答 a=b 时等号成立，所以最小值为

3．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则

的最大值为___．

【答案】15.

【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，

由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|) 10+|⩽MF2|=

=15，

则|PM|+|PF1|的最大值为 15.故答案为：15.

【题型二】第二定义及应用

【典例分析】已知双曲线

C:x2

a2+y2

b2=1(a>0, b>0)

的左、右焦点分别为

F1, F2

，

为坐标原点.

是双曲

线在第一象限上的点，直线

PO , P F2

分别交双曲线

左、右支于另一点

M , N

.若

¿P F1∨¿2∨P F2∨¿

，且

∠M F2N=60°

，则

的离心率为__．

【答案】

❑

√

【解析】设

P(t , y )

，则由双曲线的定义可得

P F1=4a , P F2=2a

，又

P F1=et+a , P F2=et −a

，故

t=3a

，依据双曲线的对称性可得

M F2=P F1=4a , P F2=2a ,∠M F2P=120∘

，故在

ΔM F2P

中运用

余弦定理可得

MP=❑

√

4a2+16 a2−2×2a × 4a(−1

2)=❑

√

28 a2=2❑

√

，又

P(t , y )

在双曲线上，故

y2=b2(9

e2−1)

，则

MP=2❑

√

t2+y2=2❑

√

9a2−b2

，所以

2❑

√

9a2−b2=2❑

√

，即

2a2=b2

，也即

2a2=c2−a2⇒e=❑

√

，应填答案

❑

√

。

【提分秘籍】

1．椭圆双曲线曲线第二定义：

平面上到定点 F的距离与到定直线的距离之比为常数 e，即

2．焦半径公式：

椭圆焦半径：

双曲线焦半径：．，

抛物线焦半径：

3．焦半径范围

椭圆焦半径范围：

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