专题10-2 概率压轴大题(理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 14 4 2.59MB 45 页 3知币

专题 10-2 概率压轴大题(理）

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】马尔科夫链基础............................................................................................................................1

【题型二】马尔科夫链之传球模型................................................................................................................3

【题型三】游走模型.........................................................................................................................................8

【题型四】药物实验模型..............................................................................................................................13

【题型五】商场促销.......................................................................................................................................17

【题型六】证明概率、期望等不等式..........................................................................................................20

【题型七】摸球与射击模型..........................................................................................................................26

【题型八】模拟压轴题选讲..........................................................................................................................29

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................35

【题型一】马尔科夫链基础模型

【典例分析】

某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选 A菜的学生中有

20%在下周一选 B菜，而选 B菜的学生中有 30%在下周一选 A菜，用 An、Bn分别表示在第 n个星期一选 A

菜、B菜的学生数，试写出 An与An－1的关系及 Bn与Bn－1的关系．

解　由题意知：由 An－1＋Bn－1＝1 000，得 Bn－1＝1 000－An－1.

所以 An＝0.8An－1＋0.3(1 000－An－1)＝0.5An－1＋300.同理，Bn＝0.2(1 000－Bn－1)＋0.7Bn－1＝0.5Bn－1＋

200.

【提分秘籍】

基本规律

1.马尔科夫链：在 n+1 时刻的状态，只跟第 n刻的状态有关，与 n-1，n-2,n-3。。。等时刻状态是“没

有任何关系的”。

2.和数列递推通项结合

【变式演练】

1.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 4的倍数，则由原投

掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 4的倍数，则由对方接着投掷．

（1）规定第 1次从小明开始．

（ⅰ）求前 4次投掷中小明恰好投掷 2次的概率；

（ⅱ）设游戏的前 4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．

（2）若第 1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．

【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）见解析，（2）

【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为 4的倍数的概为．

（ⅰ）因为第 1次从小明开始，所以前 4次投掷中小明恰好投掷 2次的概率，

．

（ⅱ）设游戏的前 4次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取 0，1，2，3，

所以，，

，．所以的分布列为

0 1 2 3

所以．

（2）若第 1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：

①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；②第次由小明投掷，

第次由小芳投掷，其概率为．

因为①②两种情形是互斥的，所以，

所以．因为，所以是以为首项，

为公比的等比数列，所以，即．

2.一袋中有大小、形状相同的 2个白球和 10 个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如

果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为

．

（1）求；

（2）设，求；

（3）证明：．

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【详解】（1）∵ 或，∴ ，，

∴．

（2）∵当时，，

当时，第次取出来有个白球的可能性有两种：

第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，

即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为；

第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为 12 个，

故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为；∴

，∴综上可知，

（3）∵第次白球个数的数学期望分为两类情况：第次白球个数的数学期望为，由于白球和黑

球的总数为 12，第次取出来的是白球的概率为，第次取出来的是黑球的概率为，

此时白球的个数为，∴

即．

【题型二】马尔科夫链之传球模型

【典例分析】

现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个

人，依次类推．

（1）通过三次传球，球经过乙的次数为 X，求 X的分布列与期望；

（2）设经过 n次传球后，球落在甲手上的概率为，

①求，；

②求，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．

【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）① ，；② ；答案见解析．

【分析】

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