专题11-2 不等式选讲归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 11-2 不等式选讲归类
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 解不等式：含参............................................................................................................................1
【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参 1:公式法“和”型........................................................................3
【题型三】 绝对值恒成立（存在）求参 2:公式法“差”型........................................................................4
【题型四】 绝对值恒成立（存在）求参 3:给解集（或子集).......................................................................6
【题型五】 绝对值恒成立（存在）求参 4:利用单调性求参........................................................................8
【题型六】 绝对值恒成立（存在）求参 5:形如 技巧型...................................................................10
【题型七】 绝对值和均值型..........................................................................................................................13
【题型八】 证明不等式 1：柯西型公式“定位法”...................................................................................16
【题型九】 证明不等式 2：柯西型公式“分子分母配对”.......................................................................17
【题型十】 证明不等式 3：柯西取等与“圆系凑配”型...........................................................................20
【题型十一】证明不等式 4：三元不等式证明...............................................................................................22
【题型十二】证明不等式 5：分析法与综合法...............................................................................................25
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................27
【题型一】 解不等式：含参
【典例分析】
已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
a=2
；（2） .
【解析】试题解析：（1）∵ ，∴ ，
∵ 的解集为 ，∴ ，∴ .
（2）∵ ，…8 分∵ ，使得 成立，
∴ ，即 ，解得 ，或 ，
∴实数 的取值范围是 .
【提分秘籍】
基本规律
基本公式法
1.
2.
【变式演练】
1.已知函数
f
(
x
)
=|x−a|
（1）若
f
(
x
)
≤m
的解集为
[
−1,5
]
，求实数
a , m
的值；
（2）当
a=2
且
0≤t<2
时，解关于
的不等式
f
(
x
)
+t≥f
(
x+2
)
【答案】（I）
a=2,m=3
（Ⅱ）
(−∞,t+2
2]
试题解析：（1）因为
|x−a|≤m
所以
a−m≤x≤a+m
{
a−m=−1¿¿¿¿
（2）
a=2
时等价于
|x−2|+t≥|x|
当
x≥2, x −2+t≥x , ∵0≤t<2
所以舍去
当
0≤x<2,2−x+t≥x , ∴0≤x≤t+2
2,
成立当
x<0,2−x+t≥−x
成立
所以，原不等式解集是
(−∞,t+2
2]
-----10 分
2.设函数 ,其中 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集;
（Ⅱ）若不等式 的解集为 ,求 的值．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）当 时， 可化为 ．
由此可得 或 ．故不等式 的解集为 ．
( Ⅱ) 由 得 此不等式化为不等式组 或
即 或 8 分因为 ，所以不等式组的解集为 ，
由题设可得 ，故 ．
3.已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，函数 的图象与 轴围成的三角形的面积大于 60，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
试题解析：（1）由题意得 解 得 .
可化为 ，解得 . 不等式 的解集为 ，
，解得 ，满足 . ．
（2）依题意得， .又 ，
∴ 的 图 象 与 轴 围 成 的 的 三 个 顶 点 的 坐 标 为 ， ，
，
，解得 .∴实数 的取值范围为 ．
【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参 1：公式法“和”
【典例分析】
已知函数 ．（1）若 ，解不等式 ；（2）若 恒成立，
求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 .
试题解析：（1）当 时， ，即 ，解得 ；
（2） ，若 恒成立，只需 ，
即 或 ，解得 或 .
【提分秘籍】
基本规律
利用公式|a±b|≤|a|+|b|
【变式演练】
1.设
f(x)=|x−a|, a ∈R.
（1）当 ，求
a
的取值范围；
（2）若对任意 x∈R， 恒成立，求实数
a
的最小值．
【答案】（1）
[
0,2
]
；（2）
1
4
.
试题解析：（1）
f(x)=|x−a|≤3
，即
a-3≤x≤a+3
依题意：
{
a-3≤−1¿¿¿¿
由此得 a 的取值范围是
[
0,2
]
（2）
f(x−a)+f(x+a)=|x−2a|+|x|≥|( x−2a)−x|=2|a|
当且仅当
(
x−2a
)
x≤0
时取等号解不等式
2|a|≥1−2a
得
a≥1
4
.故实数 a 的最小值为
1
4
.
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